ГЛАВА 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ

§ 5.1. Свойства нечетких чисел

Существуют возможность построения математических моделей систем с использованием лингвистических переменных и обычных арифметических операций [27, 39]. Привлекательность такого подхода связана с возможностью использования традиционных методов теории управления для анализа нечетких систем. Математической основой для построения таких моделей является алгебра нечетких чисел.

Нечетким числом (НЧ) А называется нечеткое подмножество числовой оси , имеющее функцию принадлежности , где — множество действительных чисел, — множество всех нечетких подмножеств числовой оси.

Нечеткое число называется нормальным, если

Нечеткое число называется выпуклым, если

Если то множество -уровня нечеткого числа А определится как

Подмножество называется носителем (суппортом) , если

Если А — выпуклое нормальное НЧ, то

где являются обратными функциями для возрастающей и убывающей частей соответственно.

Унимодальное НЧ А называется положительным, если и отрицательным, если

Выпуклое НЧ А называется нечетким нулем, если

Расширенная бинарная арифметическая операция, обозначаемая Т [39], для нечетких чисел гей определяется следующим образом:

Согласно (5.7) арифметические операции расширенного сложения, вычитания, умножения и деления над можно интерпретировать как

Для расширенных операций выражение (5.7) примет вид:

Отношение порядка для нечетких чисел [39] имеет вид:

Отметим следующие свойства операций над нечеткими числами [16, 29]:

Если есть положительное или отрицательное НЧ и если В, С — оба положительные или оба отрицательные НЧ, тогда

Операции являются ассоциативными и коммутативными операциями. Закон Де Моргана для имеет вид:

Дистрибутивность:

Поглощение:

При решении практических задач всегда удобнее пользоваться множествами -уровня для реализации арифметических операций над

Можно доказать справедливость следующего утверждения.

Утверждение Если операция — является расширенной бинарной операцией и нормальные унимодальные нечеткие числа имеют носители такие, что или то будет справедливо следующее:

где .

Таким образом, выражения (5.8) — (5.13) для положительных НЧ примут вид: