ГЛАВА 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 5.1. Свойства нечетких чисел
Существуют возможность построения математических моделей систем с использованием лингвистических переменных и обычных арифметических операций [27, 39]. Привлекательность такого подхода связана с возможностью использования традиционных методов теории управления для анализа нечетких систем. Математической основой для построения таких моделей является алгебра нечетких чисел.
Нечетким числом (НЧ) А называется нечеткое подмножество числовой оси
, имеющее функцию принадлежности
, где
— множество действительных чисел,
— множество всех нечетких подмножеств числовой оси.
Нечеткое число называется нормальным, если
Нечеткое число называется выпуклым, если
Если
то множество
-уровня нечеткого числа А определится как
Подмножество
называется носителем (суппортом)
, если
Если А — выпуклое нормальное НЧ, то
где
являются обратными функциями для возрастающей и убывающей частей
соответственно.
Унимодальное НЧ А называется положительным, если
и отрицательным, если
Выпуклое НЧ А называется нечетким нулем, если
Расширенная бинарная арифметическая операция, обозначаемая Т [39], для нечетких чисел
гей определяется следующим образом:
Согласно (5.7) арифметические операции расширенного сложения, вычитания, умножения и деления
над
можно интерпретировать как
Для расширенных операций
выражение (5.7) примет вид:
Отношение порядка для нечетких чисел [39] имеет вид:
Отметим следующие свойства операций над нечеткими числами [16, 29]:
Если
есть положительное или отрицательное НЧ и если В, С — оба положительные или оба отрицательные НЧ, тогда
Операции
являются ассоциативными и коммутативными операциями. Закон Де Моргана для
имеет вид:
Дистрибутивность:
Поглощение:
При решении практических задач всегда удобнее пользоваться множествами
-уровня для реализации арифметических операций над
Можно доказать справедливость следующего утверждения.
Утверждение
Если
операция
— является расширенной бинарной операцией и нормальные унимодальные нечеткие числа
имеют носители такие, что
или
то будет справедливо следующее:
где
.
Таким образом, выражения (5.8) — (5.13) для положительных НЧ примут вид: