§ 2.4. Декомпозиция нечетких отношений

Одно из важнейших свойств НО заключается в том, что они могут быть представлены в вщде совокупности обычных отношений, причем эти отношения могут быть упорддочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений.

Разложение НО на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии -уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будет предполагаться, что линейно упорядочено.

а-уровнем нечеткого отношения называется обычное отношение определяемое для всех следующим образом:

Если обычное отношение подобно НО отождествлять с его характеристической функцией то соотношение (2.25) можно переписать в виде

Нетрудно увидеть, что -уровни НО удовлетворяют соотношению:

представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.

Теорема 2.1. Нечеткое отношение обладает каким-либо из свойств (2.13), (2.14), (2.16), (2.17), (2.19)-(2.22), (2.24) тогда и только тогда, когда этим свойством обладают все его -уровни, т. е. рефлексивно тогда и только тогда, когда при всех также рефлексивно; транзитивно тогда и только тогда, когда транзитивны все На, и т. д.

Эта теорема, основные положения которой впервые сформулированы в [52], играет важную роль в теории НО. Во-первых, эта теорема показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщены и на случай НО, и становится ясным способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы НО могут быть представлены как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве X некоторого отношения заданного типа, например, эквивалентности или порядка, то построение на X соответствующего НО позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, что дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория НМ, позволяя учитывать эту неоднозначность возможных решений, ограничений, целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.

В соответствии с теоремой декомпозиции (1.10) нечеткое отношение может быть представлено в следующем виде:

где отношения определяются следующим образом:

Кроме свойств (2.13) — (2.24), выполняющихся для всех а-уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выполняющиеся только для одного или нескольких -уровней. Приведем примеры таких -свойств, предполагая, что элемепт а фиксирован:

а-симметричность

а-транзитивность

а-транзитивность можно определить также следующим образом

Аналогично могут быть определены и другие -свойства. Подобные -свойства могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог а на силу отношения либо ишется такое а, при котором обладает требуемым свойством. Например, в работе [49] a-свойства нечетких отношений рассматриваются при моделировании структуры сложных систем.