§ 2.4. Декомпозиция нечетких отношений
Одно из важнейших свойств НО заключается в том, что они могут быть представлены в вщде совокупности обычных отношений, причем эти отношения могут быть упорддочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений.
Разложение НО на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии 
-уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будет предполагаться, что 
линейно упорядочено.
а-уровнем нечеткого отношения 
называется обычное отношение 
определяемое для всех 
следующим образом:
Если обычное отношение 
подобно НО отождествлять с его характеристической функцией 
то соотношение (2.25) можно переписать в виде
Нетрудно увидеть, что 
-уровни НО удовлетворяют соотношению:
представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.
Теорема 2.1. Нечеткое отношение 
обладает каким-либо из свойств (2.13), (2.14), (2.16), (2.17), (2.19)-(2.22), (2.24) тогда и только тогда, когда этим свойством обладают все его 
-уровни, т. е. 
рефлексивно тогда и только тогда, когда при всех 
также рефлексивно; 
транзитивно тогда и только тогда, когда транзитивны все На, и т. д.
Эта теорема, основные положения которой впервые сформулированы в [52], играет важную роль в теории НО. Во-первых, эта теорема показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщены и на случай НО, и становится ясным способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы НО могут быть представлены как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве X некоторого отношения заданного типа, например, эквивалентности или порядка, то построение на X соответствующего НО позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, что дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория НМ, позволяя учитывать эту неоднозначность возможных решений, ограничений, целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.
В соответствии с теоремой декомпозиции (1.10) нечеткое отношение может быть представлено в следующем виде:
где отношения 
определяются следующим образом:
Кроме свойств (2.13) — (2.24), выполняющихся для всех а-уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выполняющиеся только для одного или нескольких 
-уровней. Приведем примеры таких 
-свойств, предполагая, что элемепт а фиксирован:
а-симметричность
а-транзитивность
а-транзитивность можно определить также следующим образом
Аналогично могут быть определены и другие 
-свойства. Подобные 
-свойства могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог а на силу отношения 
либо ишется такое а, при котором 
обладает требуемым свойством. Например, в работе [49] a-свойства нечетких отношений рассматриваются при моделировании структуры сложных систем.
