§ 9.4. Нечеткие модели многокритериальных задач

С проблемой принятия коллективных решений тесно связана (хотя и несколько отлична от нее) задача многоцелевого (многокритериального) принятия решения. Многокритериальную оптимизацию в нечеткой обстановке можно представить и виде системы , где X — универсальное множество альтернатив, — решетка, а критерием называется -нечеткое множество

Если все критерии рассматривать как равнозначные и сравнимые, то в соответствии с принципом слияния имеем набор где один из вариантов операции пересечения нечетких мпожеств в Однако в реальных условиях принятие решения происходит при наличии критериев неодинаковой значимости. Тогда, если имеется множество нечетких критериев и множество весов критериев то нечеткое подмножество :

определяет взвешивание критериев [126]. Отметим, что — нечеткое множество типа 2 [32].

В [47, 48] процедура взвешивания критериев рассматривается как отображение где — множество всех подмножеств индексов критериев — решетка. Функция отображающая решения, определяется с помощью нечеткого интеграла [149]

В многокритериальном случае целевая функция есть векторная функция и строгий порядок на невозможен. Любые две альтернативы х и у сравнимы между собой тогда и только тогда, когда либо либо Таким образом, понятие оптимальности заменяется в векторной оптимизации понятием недоминируемости. В то время как в однокритериальной задаче решение есть точка оптимума, в многокритериальной задаче оно дает множество эффективных (оптимальных по Парето) альтернатив

Для дальнейшего сужения этого множества необходима дополнительная информация от используемые при этом различные процедуры в основном сводятся к явному или неявному свертыванию частных критериев в единый критерий. Примерами таких обобщенных критериев могут служить взвешенная сумма нечетких критериев произведение вида минимум отношения где — нормализованные критерии (нечеткие цели по Веллману и Заде), — их веса

Нечеткая постановка задачи многокритериального выбора предполагает [26—28, 78, 79, 127], что известны множество сравниваемых альтернатив множество критериев (аспектов) сравнения причем нечеткая оценка альтернативы по критерию характеризуется функцией принадлежности а относительная важность критерия функцией принадлежности Имеется нечеткое множество оптимальных альтернатив.

При построении решения может использоваться [78, 120] нечеткая средневзвешенная оценка альтернативы с функцией принадлежности

В [120] уровни принадлежности в оптимальном множестве определяются в виде пересечения нечетких оценок с так называемым максимизирующим множеством М, функция принадлежности которого (Р — целое число) отражает степень приближения текущего значения оценки к максимально возможному . В качестве нечетко оптимальной альтернативы А берется супремум этого пересечения по всем средневзвешенным оценкам. Другой вариант сравнения альтернатив формулируется [78] с помощью условного нечеткого множества характеризуемого функцией

Тогда нечеткое множество оптимальных альтернатив определяется функцией принадлежности

При имеем

Таким образом, в итоге выбирается альтернатива с такой средневзвешенной оценкой что для любого к: к . Эту процедуру можно также описать с помощью -арного

отношения , где

Для повышения чувствительности данного метода определяется мера предпочтительности альтернативы по отношению к другим, в качестве которой выступает расстояние между конкретным значением оценки этой альтернативы и средним значением оценок по всем другим альтернативам. Однако более интересно проанализировать степень предпочтение некоторой альтернативы по отношению к ее ближайшей сопернице. Поэтому в [79] вместо -арного четкого отношения используется бинарное нечеткое отношение , выражающее предпочтительность оценки перед к примеру При этом выбор в оптимальном множестве описывается функцией принадлежности

В работах [26, 27, 52, 53] показывается, что описание многокритериальных задач удобно проводить с помощью построения отношений предпочтения между альтернативами с последующим выделением нечеткого множества недоминируемых альтернатив. Например, в так называемой обобщенной модели НМП [141] в отличие от вышеописанных подходов, основанных на сравнении нечетких множеств в одном пространстве оценок по критериям, анализируются задачи, в которых возможна нечеткость всех компонентов системы принятия решения. Рассматриваются: а) множество допустимых альтернатив X (оно может быть нечетким универсальное множество оценок альтернатив из X. На множестве оценок задано нечеткое отношение предпочтения . Выбор оценивается на базе этого отношения, а также нечеткого отображения цели , согласно которому любой альтернативе ставится в соответствие нечеткая оценка являющаяся нечетким подмножеством множества оценок Требуется установить правило рационального выбора альтернатив из множества X.

Решение этой задачи определяется путем построения на множестве альтернатив X нечеткого отношения предпочтения, которое индуцируется исходным нечетким отношением расширенным на класс всех нечетких подмножеств декартова произведения с последующим выделением из него нечеткого множества недоминируемых альтернатив.

Понятие структур доминирования и недоминируемых решений в многокритериальных задачах позволяет рассматривать общие случаи, в которых имеется информация о предпочтениях

ЛПР. В [151] вводятся понятия нечетких выпуклых конусов и нечетких полярных конусов, обобщающих структуры, впервые построенные . Эти структуры охватывают понятие оптимальности в смысле Парето и некоторые другие конструкции.

Частным случаем многокритериального подхода является задача линейной векторной оптимизации [117, 172]; для ее решения предложена конкретизация схемы Беллмана и Заде [71]. Примеры выделения одного конкретного решения из множества эффективных решений векторной максимизации методами нечеткого линейного программирования содержатся в [47, 53, 172]: предварительно найденные наилучшее и наихудшее решения служат границами нечетких диапазонов в соответствующей задаче нечеткого линейного программирования.

Выбор конкретного решения из множества Парето можно также осуществлять с помощью метода целевого программирования, идея которого состоит в отыскании решений, расположенных как можно ближе к вектору одновременно недостижимых целей (идеальной точке) [23, 47]. Иначе задачу многокритериального выбора можно рассматривать как задачу группирования (кластеризации) альтернатив на основе введения на множестве X некоторого отношения различия (например, ультраметрики), описывающего расстояния между нечеткими подмножествами множества альтернатив [126]; в частности, могут применяться различные показатели размытости, в том числе нечеткая энтропия Де Люка и Термини [94, 54] (см. гл. 3).

На ранних стадиях проектирования реальных систем (этапы анализа технического задания и разработки технического предложения) имеется набор признаков, по которым происходит экспертная оценка вариантов и выбирается в некотором смысле наилучший вариант конструкции. Поэтому в ходе анализа техническое задание целесообразно представлять в виде составной лингвистической переменной, смысл которой выражается с помощью набора эталонных функций принадлежности. Исходные данные удобно сгруппировать в матрицу возможных проектных решений (табл. 9.1): ее строки содержат описание альтернатив , а столбцы соответствуют признакам Клетки матрицы заполняются функциями принадлежности (НМ), построенными на основе вербально-графических оценок экспертов [59]. В интересах сопоставления оценок по признакам различной природы следует нормализовать шкалы признаков, например по формуле , где — текущая оценка по признаку, а — диапазон допустимых чений по признаку. Правило выбора наилучшего варианта может записываться в виде

Таблица 9.1 (см. скан)

где — весовые коэффициенты признаков, а — обобщенный показатель различия между текущей и эталонной оценками по признаку, имеющий вид — метрика в — метрика в X, а — соответствующие коэффициенты важности).