ГЛАВА 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ

§ 4.1. Методические замечания

При решении многих задач анализа сложных систем в условиях неопределенности широко используются методы теории вероятности и математической статистики. Эти методы предполагают вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и полученных статистических выводов. В последнее время возрастает потребность в новых подходах к математическому описанию информации, характеризующейся высоким уровнем неопределенности. Один из возможных подходов здесь может основываться на обобщении понятия меры и построении нечетких мер, свободных от ряда ограничений вероятностной меры.

Существуют различные интерпретации понятия вероятности. Это — классическая частотная интерпретация Лапласа, субъективная вероятность по Байесу, субъективная вероятность по Де Финетти, Сэвиджу и т. д. [2]. Наиболее содержательной с математической точки зрения является аксиоматическая трактовка вероятности А. Н. Колмогорова с позиций теории меры.

Как известно [5], мерой называется функция множества удовлетворяющая следующим трем аксиомам:

Здесь — множество всех подмножеств X, а — множество действительных чисел. При эти аксиомы определяют вероятностную меру [4].

Под субъективной вероятностью понимается степень уверенности в данном событии, возникающая у человека на основе известных ему данных [1—3]. Эта степень уверенности всегда зависит от индивидуального опыта и поэтому различна для разных людей. Неясность суждений, основанных на субъективном анализе, обусловливает многие трудности, которые возникают при использовании субъективной вероятности.

Субъективную вероятность можно рассматривать как индивидуальный способ обработки тех аспектов субъективных данных, которые доступны индивидуальному суждению. Однако чаще всего такие суждения неаддитивны. показано, что реальное поведение человека, как правило, противоречит предположению об аддитивности мер, которые он использует при оценке

событий. В отличие от субъективной вероятности, нечеткая мера свободна от весьма ограничительного требования аддитивности, что делает ее особенно привлекательной для решения ряда задач при наличии неопределенности типа нечеткости.

В настоящее время существует тенденция вероятностной трактовки НМ [1]. Следует отметить, что, с точки зрения теории меры, такой подход является неоправданным, поскольку понятие вероятностной меры является сужением понятия нечеткой меры. Для сравнения рассмотрим обе теоретико-мерные трактовки вероятности и нечеткости.

Пусть — вероятностное пространство. Здесь -поле борелевских подмножеств множества X (минимальная -алгебра, содержащая все открытые подмножества множества X), вероятностная мера, т. е. функция множества , удовлетворяющая условиям 1) —3). С другой стороны, нечеткое множество Л. Заде описывается функцией принадлежности принимающей свои значения в интервале [0, 1]. С точки зрения теории отображений — совершенно разные объекты. Вероятность Р определяется в а-алгебре и является функцией множества, а есть обычная функция, областью определения которой является множество X. Поэтому понятия вероятности и нечеткого множества не имеет смысла сравнивать на одном уровне абстрагирования.

Когда X — является конечным множеством, очевидно, можно сравнивать

В этом случае, когда приходится сталкиваться со следующими трудностями. Если

где — плотность вероятности. При этом очевидно, что , когда Нетрудно увидеть, что понятия плотности вероятности и функции принадлежности сравнимы. В то время как вероятностная мера является шкалой для измерения неопределенности типа случайности, нечеткие меры [27—30, 34, 37, 38] являются субъективными шкалами для нечеткости.