Конечным состоянием автомата
определяем у.
Если задана входная последовательность
то функция выхода автомата А совпадает с выходом автомата А, так, как
В преобразованиях учитывалось то, что
— четкое состояние и
При
использовалось выражение для
Утверждение 7.2 [15]. Для заданной нечеткой регулярной грамматики
существует НА А такой, что
и наоборот.
Приведем доказательство из [7].
а) Пусть
— нечеткая регулярная грамматика, тогда соответствующий нечеткий автомат
где
— множество номеров правил подстановки из
— любое одноэлементное множество,
четкое начальное состояние,
— множество конечных состояний.
Для любых
если либо
— номер правила подстановки
и
— номер правила подстановки
или
либо
и
-номер правила подстановки
в противном случае
Можно проверить, что любая последовательность переходов автомата из начального состояния в конечное состояние имеет ненулевое значение функции принадлежности
тогда и только тогда, когда входное слово 0 порождается грамматикой
б) Пусть
— нечеткий ограниченный автомат. Эквивалентная нечеткая грамматика определяется следующим образом:
содержит правила подстановки вида
тогда, когда
и содержит правила подстановки вида
тогда, когда
может совпадать с начальным состоянием
Так как в работе [27] доказано, что каждый регулярный язык, построенный на основе регулярных выражений, распознается
некоторым НА и любой НА распознает только такой НЯ, который порождается некоторым регулярным выражением, то справедливо фундаментальное соотношение
утверждающее, что множества языков, порождаемых нечеткими регулярными грамматиками, нечеткими регулярными L-выражениями и распознаваемых нечеткими автоматами, совпадают.
В [29] получены аналогичные результаты для нечетких регулярных грамматик и нечетких автоматов с операциями «сумма» и «произведение».