ГЛАВА 10. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

§ 10.1. Основные группы методов

В основании теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики — это материальная точка, для электродинамики — это вектор напряженности поля, для квантовой теории — понятие состояния. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества, которое характеризуется функцией принадлежности. Посредством НМ можно строго описывать присущие для языка человека расплывчатые элементы, «без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов» [3, с. 84]. Но основной трудностью, мешающей интенсивному применению теории нечетких множеств при решении практических задач, является то, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена непосредственно средствами теории. В каждом в настоящее время известном методе построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого построения.

Л. Заде предложил оценивать степень принадлежности числами из интервала [0, 1]. Фиксирование конкретных значений при этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экспертных методов важным является характер измерений (первичный или производный) и тип шкалы [7], в которой получают информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид операций, применяемых к экспертной информации. С другой стороны, имеется два типа свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравнения объектов, обладающих рассматриваемым свойством, чтобы определить их относительное место по отношению к рассматриваемому понятию [29].

Существует ряд методов построения по экспертным оценкам функции принадлежности нечеткого множества. Можно выделить две группы методов: прямые и косвенные методы.

Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности , характеризующей понятие А. Эти значения согласуются

с его предпочтениями на множестве объектов следующим образом:

1) для любых тогда и только тогда, когда предпочтительнее т. е. в большей степени характеризуется понятием А;

2) для любых щи тогда и только тогда, когда безразличны относительно понятия А.

Примеры прямых методов: непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, примером [27, 34, 35]. В [11] прямое назначение обосновывается следующим: «По своей природе оценка является приближением. Во многих случаях достаточна весьма приближенная характеризация набора данных, поскольку в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную для задачи (или достаточную для решения), элементами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные дан-,ные. Поток информации, поступающей в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается таким образом в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с минимальной степенью точности».

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям. Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных условий могут служить следующие: функция принадлежности должна отражать близость к заранее выделенному эталону, объекты множества являются точками в параметрическом пространстве [32]; результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы [10]; при попарном сравнении объектов, если один объект оценивается в а раз сильнее, чем другой, то второй оценивается только в раз сильнее, чем первый [30]; и т. д.

Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими, как высота, рост, вес, объем. В этом случае удобно непосредственное задание значений степени принадлежности. К прямым методам можно отнести методы, основанные на вероятностной трактовке функции принадлежности , т. е. вероятность того, что объект будет отнесен к множеству, которое характеризует понятие А.

Если гарантируется, что люди далеки от случайных ошибок и работают как «надежные и правильные приборы», то можно спрашивать их непосредственно о значениях принадлежности. Однако имеются искажения [34], например, субъективная

тенденция сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении принадлежности, должны использоваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны или маловероятны.

Косвенные методы основаны на более слабых предположениях о людях как «измерительных приборах». Рассмотрим, например, понятие «красота», которое, в отличие от понятий «длина», или «высота», — сложное понятие. Практически не существует универсальных элементарных измеримых свойств, через которые определяется красота. В таких случаях используются только ранговые измерения при попарном сравнении объектов. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество — в стойкости по отношению к искажениям в ответе. В [34] выдвигается для косвенных методов «условие безоговорочного экстремума»: при определении степени принадлежности множество исследуемых объектов должно содержать, по крайней мере, два объекта, численные представления которых на интервале [0, 1] О и 1 соответственно.

Итак, нами выделены две основные группы методов построения функции принадлежности: прямые и косвенные. Однако функция принадлежности может отражать, как мнение группы экспертов, так и мнение одного (уникального) эксперта, следовательно, возможны, по крайней мере, четыре группы методов: прямые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для группы экспертов. Кроме этого, необходимо рассмотреть методы построения функций принадлежности терм-множеств.

В [22, 27, 34, 35] обсуждаются прямые методы для одного эксперта, предлагающие непосредственное назначение степени принадлежности [27, 34, 35] или назначение аналитической функции, совпадающей с функцией принадлежности. В [34] анализируется предложенный Осгудом [26] метод семантических дифференциалов для описания понятия посредством нечеткого множества, характеризующих его свойств. В [4, 28, 29, 34, 32] рассматриваются косвенные методы для одного эксперта. В [4, 28] интенсивность принадлежности определяется, исходя из парных сравнений объектов. В [32] предлагается параметрическое задание идеального и произвольных объектов, на основе которого вводится мера сходства между объектом и идеалом. В [29, 30] используется подход, изложенный в [28] для описания сложных иерархических свойств. Для получения значений функции принадлежности в [28] решается задача на поиск наибольшего собственного значения матрицы попарных сравнений, в [24] используется метод наибольших квадратов, в [4] осуществляется поиск наиболее близкого по порядку к оценкам эксперта числового набора в факторном (параметрическом) пространстве минимальной размерности.

В [2, 5, 10, 14, 15, 27] производятся прямые методы для группы экспертов. В [5, 14, 15] степень принадлежности трактуется как вероятность, в [2, 27] — как субъективная вероятность.

В [10] предлагается метод построения функции принадлежности, в определенном смысле согласованной с нечетким групповым предпочтением и заданной в интервальной шкале.

В [13, 20, 34] анализируется возможность построения косвенных методов для группы экспертов. В [21, 20] обсуждается процедура, позволяющая сводить исходную «размытую» функцию, полученную усреднением экспертных оценок, к характеристической функции неразмытого, четкого множества.

Рис. 10.1. (см. скан) Классификация методов построения функции принадлежности

В [13] значения функции принадлежности вычисляются по ранговым упорядочениям объектов группой экспертов. В [1, 2, 6, 8, 9, 16, 22] предлагаются методы построения терм-множеств лингвистических переменных. В [2, 22] систематизированы правила выбора терм-множеств. В [8, 9] приведен способ построения частотных оценок на

основании психологического эксперимента. В [16] делается попытка построения методики предварительной обработки экспериментальной таблицы для выравнивания статистических данных с целью применения способа, изложенного в [8, 9]. В [6] предлагается параметрическое определение функций принадлежности термов в зависимости от расстояния до эталонов. В [1] функции принадлежности элементов терм-множеств строятся одновременно на основе так называемого отношения моделирования, получаемого в виде таблицы, строки и таблицы которой соответствуют термам и элементам базового множества. Классификация методов построения функции принадлежности приведена на рис. 10.1.

Рассмотрим подробнее перечисленные методы.