§ 1.2. Виды областей значений функций принадлежности

Все рассмотренные выше нечеткие объекты можно далее классифицировать по виду области значений функции принадлежности. Помимо интервала [0, 1] функция принадлежности может принимать свои значения в интервале [-1, +1] (тогда граничное значение полной непринадлежности равно —1, а 0 берется как точка перехода нечеткого множества на числовой прямой , а также в различных множествах, наделенных некоторой структурой. Например, в [24] область значений функции принадлежности состоит из трех участков: а) При интерпретации X как множества деталей подмножество охватывает все годные детали, не выходящие за пределы требуемых допусков, подмножество — негодные детали, которые можно переделать, а — бракованные детали.

Исторически первым обобщением понятия стали -нечеткие множества т. е. функции, принимающие свои значения в конечной или бесконечной дистрибутивной решетке (решетка — частично упорядоченное множество с точной нижней и точной верхней границами). Области принадлежности моделируются также полной решеточно упорядоченной полугруппой [32, 33], полукольцом [21, 59], категорией [54]. Важным для практических приложений в плане выражения качественных представлений и оценок человека в процессе решения задачи является случай -нечетких множеств, задаваемых парой где

— отображение из X в линейно упорядоченное множество На естественно наложить требования конечности и полноты. Пример конечного линейно упорядоченного множества — набор лингвистических значений лингвистической переменной среднее, хорошее, отличное). Свойство линейной упорядоченности не несет информации о расстоянии между элементами множества т. е. если указывается, что один элемент предпочтительнее другого: то нельзя выразить количественно, насколько лучше Линейный порядок

не допускает арифметических операций, поэтому вместо дополнения в классе -нечетких множеств применяется операция отрицания; если то где максимальный элемент в Эта операция удовлетворяет свойствам инволюции: и инверсии порядка: если

где . Операции возведения в степень НМ (см. табл. 1.1) соответствует операция сдвига -нечеткого множества в X. Пусть в X с функцией принадлежности, принимающей значения в , а — любое целое число. Оператор сдвига действуя на -нечеткое подмножество А, образует новое -нечеткое подмножество причем если то

Определения операций пересечения и объединения для -нечетких множеств аналогичны определениям для НМ класса (табл. 1.1).