6.4.2. Свойства нечеткой импликации.

В [10] рассматривается аксиоматический подход к импликации, которая определяется как нечеткое бинарное отношение на истинностном пространстве и является нечетким обобщением таблицы импликации для двухзначной логики. Вводятся следующие 4 аксиомы, постулирующие свойства импликации, отвечающие интуитивному представлению о природе нечеткого вывода.

Импликацией называется бинарное отношение на истинностном пространстве определяющее свойство импликации между нечеткими высказываниями Р и

Аксиома 1. 1) Если значение функции истинности Р равно тогда истинностное значение вывода modus ponens, , задается

2) Если значение функции истинности равно тогда истинностное значение вывода modus tollens задается где обозначает max min композицию.

Таблица 6.6 (см. скан)

Аксиома 2. Истинность вывода должна быть не меньше истинности исходного утверждения, а именно

1) для вывода modus ponens

2) для вывода modus tollens

Назовем истинностной любую функцию истинности, монотонно возрастающую до единицы и ложностной — любую функцию, монотонно убывающей от единичного значения, причем при всех значениях принадлежности больших нуля монотонность строгая.

Аксиома 3. Если функция принадлежности определяет отношение импликации 7, то:

1) для постоянного должно являться истинностной функцией на и

2) для постоянного должно являться ложностной функцией на

Аксиома 4. Отношение импликации должно быть симметрично относительно выводов modus ponens и modus tollens,

т. е.

Легко можно указать ряд классов импликаций, удовлетворяющих аксиомам 1—4: например, отношения импликации, основанные на правиле импликации Лукасевича, где

В частности, класс , где

k — любое действительное число большее 0 и класс где

где — любое действительное число, большее 0.

Беря за основу отношение можно получить класс где

— любое конечное неотрицательное действительное число. Эти или другие возможные классы импликации выбираются, исходя из характера решаемой задачи.

Довольно большое число операторов импликации, основанных на многозначных логиках, рассматривается в [11]. С помощью операторов импликации вводится новый класс композиции отношений типа

где — оператор нечеткой импликации.

Меры близости между различными типами импликаций исследовались в [51].