§ 6.4. Анализ методов приближенных рассуждений

6.4.1. Методы рассуждений на основе modus ponens.

В работах [17, 36, 40, 58—60] был предложен метод рассуждений, в котором посылки являются нечеткими понятиями. Общую схему этого так называемого условного нечеткого вывода запишем в следующем виде:

где — имена объектов, обозначения нечетких подмножеств областей рассуждения соответственно.

Пример такого типа вывода следующий:

(см. скан)

Эта форма вывода может быть рассмотрена как обобщенный modus ponens, который сводится к modus ponens при

Возможна также следующая форма вывода, содержащая нечеткое условное высказывание

(см. скан)

Этот вывод может быть рассмотрен, как обобщенный modus tollens, который сводится к обычному modus tollens при и . Антецедент в виде «если х есть А, то у есть В» в выводе может представлять некоторое соответствие между А и В. С приведенной точки зрения предложены следующие методы для представления этого условного предложения.

Пусть А и В — нечеткие множества в соответственно, представленные

и пусть - декартово произведение, объединение, пересечение, дополнение и ограниченная сумма для нечетких множеств соответственно. Перечислим нечеткие отношения на , которые могут быть получены из нечеткого условного высказывания: «Если х есть А, то у есть В». Нечеткие отношения были предложены в [58], — в [39, 41, 42]. Соответствующие выражения имеют вид

где

где

(см. скан)

В [44] вводится ряд новых отношений для высказывания «Если х есть А, то у есть В» с помощью использования правил импликации для многозначных систем

где

где

где

где

где

В обобщенном modus ponens следствие В в следствии может быть выведено из антецедента и сукцедента, используя max min композицию нечеткого множества А и нечеткого отношения, полученного в одном из правил. Например,

Аналогично

Точно так же в обобщенном правиле modus tollens следствие А Получается в результате max min композиции отношения и нечеткого множества В:

В [39, 41, 42, 44, 45] сравниваются методы нечетких рассуждений, использующие перечисленные типы нечетких отношений в правилах обобщенного modus ponens и modus tollens. При этом рассматриваются следствия, получаемые в расширенном modus ponens в результате применения к нечеткому множеству А нечеткого отношения:

Для расширенного modus tollens вычисляются значения следствий для композиции нечеткого множества В и отношения для следующих значений В:

Следствия, полученные всеми методами нечеткого рассуждения, сведены в табл. 6.2 (обобщенный modus ponens) и табл. 6.3 (обобщенный modus tollens), где вместо пишутся

Используя табл. 6.2 и 6.3, мы рассмотрим простой пример нечеткого рассуждения [44]. Отношения между А в сукцеденте и В в следствии в обобщенном modus ponens, совпадающие с нашей интуицией, представлены в виде нечеткого условного вывода в табл. 6.4. Аналогично, отношения между В в сукцеденте в А в следствии в обобщенном modus tollens, которым они должны удовлетворять, представлены в табл. 6.5.

Отношение I в табл. 6.4 соответствует modus ponens. Отношение II-2 имеет следствие, несколько отличное от отношения II-1, но в случае отсутствия сильной причинной связи между есть А» и «у есть В» в высказывании «Если х еоть А, то у есть В» выполнение отношения II-2 допускается. В отношении IV-1 содержится утверждение, что «Если х не есть А, то из антецедента

нельзя получить никакой информации об . Выполнение отношения IV-2 требует, чтобы нечеткое утверждение «Если х есть А, тогда у есть В» неявно подразумевало высказывание «Если х есть А, тогда у есть В, иначе у не есть В», и мы легко можем представить себе реальную ситуацию, когда это отношение выполняется.

Таблица 6.2 (см. скан)

Отношение V соответствует modus tollens и отношение VIII аналогично отношению IV. В табл. 6.6 удовлетворение . Или неудовлетворение каждому критерию в табл. 6.4 и 6.5 для каждого метода проверялось с помощью использования значений следствия в табл. 6.2 и 6.3.

(кликните для просмотра скана)

Таблица 6.4 (см. скан)

Таблица 6.5 (см. скан)

На основании табл. 6.6 делается вывод [39], [44], что методы не подходят для нечеткого рассуждения ни в случае обобщенного modus ponens, ни в случае обобщенного modus tollens, так как они не удовлетворяют критериям, которые выглядят вполне разумными. является неплохим методом, — вполне удовлетворительными. Новые методы , основанные на использовании импликаций многозначных логик, являются не очень хорошими.