§ 3.3. Метрический подход к определению показателей размытости НМ
Показатель размытости нечетких множеств можно определить как меру отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного неразмытого множества с помощью метрики, введенной в
Другой способ задания показателя размытости с помощью метрики — это определение его с помощью расстояния до максимального размытого множества
и расстояния между нечетким множеством и его дополнением [1, 39]. Оказывается, эти подходы имеют много общего между собой, и определяемый с помощью метрики показатель размытости обладает многими свойствами, сформулированными в предыдущем разделе.
В [33] множеством, ближайшим к нечеткому множеству А, называется неразмытое множество А такое, что и а
при На
при
Показателем размытости называется функционал
который может быть представлен также в виде:
Если вместо расстояпия Хэмминга в (3.9) использовать евклидово расстояние, то получим:
Показатели (3.9) и (3.10) имеют, соответственно, вид (3.2) и (3.7) и удовлетворяют соответствующим свойствам показателя размытости. В случае произвольной метрики функция
удовлетворяет свойствам
Показатель размытости можно задать с помощью расстояния между нечетким множеством и его дополнением [1, 39]:
где
в случае метрики Хэмминга имеет вид:
В общем случае такой показатель размытости удовлетворяет свойствам
Показатель размытости можно задать функционалом [1, 2]:
который удовлетворяет, в общем случае, лишь свойствам
и
В общем случае различные показатели размытости, а также мощности НМ можно получить на базе метрики Минковского, заданной в классе нечетких множеств
. В [9] введено понятие энтропии произвольной операции в
как расстояния между результатом этой операции и максимально размытым
Предложен также показатель взаимной компенсации операндов в виде расстояния между результатом рассматриваемой операции и результатом операции пересечения
(показатель рискованности решения).
Как видим, наиболее общими свойствами, которыми обладают показатели размытости при метрическом подходе для метрики произвольного вида, являются
Свойства
в зависимости от определения показателя размытости не выполняются для метрики
Свойство
выполняется для большинства известных метрик. А свойство
выполняется для метрик, приводящих к аддитивной мере (3.1). В следующем разделе будет, в частности, показано, что между показателями размытости, удовлетворяющими условиям
и метриками определенного класса может быть установлено взаимно однозначное соответствие.