§ 3.3. Метрический подход к определению показателей размытости НМ

Показатель размытости нечетких множеств можно определить как меру отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного неразмытого множества с помощью метрики, введенной в Другой способ задания показателя размытости с помощью метрики — это определение его с помощью расстояния до максимального размытого множества и расстояния между нечетким множеством и его дополнением [1, 39]. Оказывается, эти подходы имеют много общего между собой, и определяемый с помощью метрики показатель размытости обладает многими свойствами, сформулированными в предыдущем разделе.

В [33] множеством, ближайшим к нечеткому множеству А, называется неразмытое множество А такое, что и а при На при Показателем размытости называется функционал

который может быть представлен также в виде:

Если вместо расстояпия Хэмминга в (3.9) использовать евклидово расстояние, то получим:

Показатели (3.9) и (3.10) имеют, соответственно, вид (3.2) и (3.7) и удовлетворяют соответствующим свойствам показателя размытости. В случае произвольной метрики функция удовлетворяет свойствам

Показатель размытости можно задать с помощью расстояния между нечетким множеством и его дополнением [1, 39]:

где в случае метрики Хэмминга имеет вид:

В общем случае такой показатель размытости удовлетворяет свойствам

Показатель размытости можно задать функционалом [1, 2]:

который удовлетворяет, в общем случае, лишь свойствам и

В общем случае различные показатели размытости, а также мощности НМ можно получить на базе метрики Минковского, заданной в классе нечетких множеств . В [9] введено понятие энтропии произвольной операции в как расстояния между результатом этой операции и максимально размытым Предложен также показатель взаимной компенсации операндов в виде расстояния между результатом рассматриваемой операции и результатом операции пересечения (показатель рискованности решения).

Как видим, наиболее общими свойствами, которыми обладают показатели размытости при метрическом подходе для метрики произвольного вида, являются Свойства в зависимости от определения показателя размытости не выполняются для метрики

Свойство выполняется для большинства известных метрик. А свойство выполняется для метрик, приводящих к аддитивной мере (3.1). В следующем разделе будет, в частности, показано, что между показателями размытости, удовлетворяющими условиям и метриками определенного класса может быть установлено взаимно однозначное соответствие.