Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2.7. Отношения сходства и различияСимметричное (2.19) и рефлексивное Условие транзитивности для НО сходства обычно формулируют в виде
которое при определении операции композиции с помощью (2.8) приводит к условию транзитивности (2.24):
Транзитивность (2.35) обозначается на рис. 2.2, а как
обозначается как
Тогда
Свойства Наиболее интересными свойствами обладает НО эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества X на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности (2.35) накладывает довольно сильные ограничения на возможные значения степеней принадлежности по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третьего. Таким образом, отношение эквивалентности обладает многими полезными свойствами из-за своего довольно специфического вида. В практических задачах из исходного нетранзитивного отношения сходства
Рис. 2.3. Декомпозиция нечеткого отношения на a-уровни: a — исходное отношение сходства S; б — транзитивное замыкание S; в — классы эквивалентности На рис. 2.3 приводятся примеры НО сходства, его транзитивного замыкания и декомпозиция полученного отношения на а-уровни. Отношением различия с помощью соотношения:
В случае, когда
что можно переписать в алгебраической форме следующим образом:
Таким образом, НО различия может быть получено из НО сходства с помощью операции дополнения. Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетворяющее ультраметрическому неравенству:
Ясно, что условие (2.42) двойственно условию транзитивности (2.35). На рис. 2.2, а это условие транзитивности обозначено как Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось в кластерном анализе при исследовании свойств мер различия между объектами, определяющих естественное представление множества объектов в виде дерева разбиений. Представление ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга отношений эквивалентности было также известно в кластерном анализе, однако лишь в рамках теории НО это представление получает естественное объяснение. Интерпретация ультраметрики как попятия, двойственного понятию НО эквивалентности, дает возможность применять алгебру НО в задачах кластерного анализа. Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее неравенству треугольника:
которое обозначено на рис. 2.2, а как Двойственное условию
Это условие транзитивности может рассматриваться для отношений различия, определенных при Таким образом, отношения сходства и метрики оказываются в рамках теории НО тесно связанными между собой понятиями. Это позволяет применять методы, основанные на свойствах НО, к решению задач, в которых используется понятие метрики и наоборот.
|
1 |
Оглавление
|