ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

В теории статистических выводов нашли признание два основных направления: так называемый «классический» подход, связываемый с именами известных статистиков Дж. Неймана и Е. С. Пирсона и их последователей, и байесовский подход.

Классический, или ортодоксальный, подход широко применяется в настоящее время в эконометрических исследованиях. Причем главное внимание уделяется получению эффективных оценивателей и изучению их асимптотических свойств. Большой вклад в развитие эконометрических приложений этого подхода внесли такие ученые, как Т. Хаавельмо, Т. Купманс, Г. Тейл, Г. Волд, А. Зельнер, А. Нагар, А. Гольдбергер, Э. Маленво, Ф. Фишер и ряд других. Асимптотические свойства оценивателей служат обоснованием для статистических выводов, получаемых при выборках большого объема. В случае же малых выборок приложение результатов асимптотической теории представляется недостаточно обоснованным.

Байесовский подход к статистическому выводу строится на других теоретических предпосылках, подробное изложение которых дается в предлагаемой монографии А. Зельнера «Байесовские методы в эконометрии».

Советский читатель уже имеет ряд переводных работ, посвященных байесовскому подходу. Книга А. Зельнера, ученого, внесшего крупный вклад в эконометрические приложения классического подхода, отличается от ранее изданных прежде всего своей эконометрической направленностью, что особенно важно в связи с тем, что до сих пор в области эконометрии байесовский подход еще не получил столь широкого распространения, как классический. В то же время именно байесовский подход намечает новые пути к решению некоторых важных проблем

эконометрии, в том числе проблемы малой выборки. Кроме того, монография А. Зельнера интересна тем, что в ней байесовский подход сопоставляется с классическим по проблемам и методам, имеющим хорошо известные результаты, полученные с помощью последнего.

Байесовские методы в эконометрии отличаются от классических подходом к интерпретации истинных параметров модели. Классический исходит из того, что истинные параметры не случайны, а аппроксимирующие их оценки случайны, поскольку они являются функциями наблюдений, содержащих случайный элемент. Байесовский подход относится к числу дающих более широкую трактовку истинным параметрам модели: Он исходит из того, что параметры случайны, т. е. рассматривает случайность как имманентное свойство реального физического мира, полагая, что сам физический объект как бы подвержен непрерывным случайным изменениям. Поэтому ищут неслучайные оценки, достаточно близко аппроксимирующие какую-либо статистику случайного параметра, например, его среднее значение. При практическом использовании уже оцененной модели разница несущественна — исследователь работает с моделью с детерминированными коэффициентами, а вероятностные свойства модели используются для определения ошибки прогноза и чувствительности модели, вычисления функции потерь и т. п., причем эти вычисления возможны и в том и в другом подходе.

Ясно также, что как нельзя пользоваться моделью с высокой дисперсией оценки коэффициентов, так и невозможно структурное моделирование объекта, истинные параметры которого характеризуются значительным разбросом. Но в методологическом плане разница велика и принятие предположения о случайности параметров непосредственно подводит к использованию теоремы Байеса. Эта теорема для непрерывных случайных величин может быть представлена в виде где символ означает пропорциональность, есть апостериорная функция плотности распределения вероятностей вектора 0 при данной эмпирической информации относительно вектора у; априорная функция плотности распределения вероятностей для вектора 0; рассматриваемая как функция 0, есть общеизвестная функция правдоподобия. Идея байесовского подхода заключается в том, что, объединяя априорную функцию плотности распределения вероятностей вектора параметров с информацией выборки при помощи теоремы Байеса, получают апостериорную функцию плотности распределения. В условиях рассмотрения истинных параметров в качестве случайных величин введение априорной функции плотности распределения вероятностей представляется естественным. Некоторые зарубежные статистики (в том числе и А. Зельнер) идут дальше и обосновывают введение априорной функции распределения с позиций субъективных теорий вероятностей. Введение субъективных вероятностей не означает, разумеется, отсутствия в них некоторой меры объективности, так как известно, что субъективное мнение эксперта (или исследователя, или лица, принимающего решения) базируется на его прошлом неформализованном опыте. С другой стороны, субъективные теории вероятностей Де Финетти,

Г. Джеффриса, Дж. Кейнса) описывают некоторый вид неопределенности, не вполне укладывающийся в рамки классической теории вероятностей, основанной на аксиоматике А. Н. Колмогорова. Классическая теория вероятностей рассматривает «вероятность» в смысле вероятности появления некоторого события А при осуществлении некоторого принципиально воспроизводимого неограниченное количество раз комплекса условий. Здесь надо выделить два момента: во-первых, принципиальную воспроизводимость и, во-вторых, возможность проведения неограниченного числа экспериментов при сохранении неизменным комплекса условий. Но в социально-экономических системах вероятность эксперимента, как правило, ограничена; тем более трудно говорить о воспроизводимости его в неизмененных условиях неограниченное число раз. В этом случае априорные функции плотности распределения, участвующие в теореме Байеса, затруднительно интерпретировать в терминах классической теории вероятностей. В то же время они отражают информацию об объективном состоянии системы, но такую, которая получена в отличающихся условиях и опирается на неформализованный индивидуальный опыт исследователя. Субъективные вероятности (если употреблять этот термин) являются количественными оценками возможности наступления события, которые исследователь задает на основе своего индивидуального опыта или, иначе говоря, априорной информации о системе, полученной в ситуациях аналогичных, но отличающихся от нее в том смысле, что комплекс внешних условий нельзя считать неизменным. Эта информация проходит предварительное обобщение в индивидуальном опыте исследователя и лишь затем получает количественную оценку. Таким образом, байесовский подход является одним из возможных подходов, обеспечивающих учет такого ценного элемента, как индивидуальный опыт, и включение человека, принимающего решение, в логико-математическую процедуру выбора решения.

Надо отметить, что в условиях неограниченного возрастания выборки байесовские оценки совпадают с оценками классического подхода.

Переход от неформализованного опыта к его количественной интерпретации в виде априорной функции плотности распределения вероятностей вызывает ряд затруднений, которые, однако, снимаются в рамках так называемых эмпирических байесовских процедур, впервые

предложенных Роббинсом. В этом подходе не обязательно точно задавать априорное распределение вектора параметров , необходимо только определить семейство априорных распределений, к которому принадлежит . Задача состоит в том, чтобы построить такую последовательность оценок, которая при определенной функции потерь будет приближаться (по вероятности) к байесовской оценке параметра а соответствующие последовательности априорных рисков будут сходиться к байесовскому риску.

В последнее время при изучении сложных социально-экономических систем, описание которых связано с учетом высокой степени неопределенности, возникла объективная необходимость во введении новых понятий, адекватно описывающих некоторые виды неопределенности. В частности, в теории статистических выводов, кроме субъективной вероятности, достаточно широко применяется понятие расплывчатого множества, впервые введенное Л. Заде. Эти новые понятия используются для того, чтобы перебросить мост между формализованным и неформализованным, содержательным, мышлением.

Проводится различие между случайностью и расплывчатостью: «Случайность связана с неопределенностью, касающейся принадлежности или непринадлежности некоторого объекта к нерасплывчатому множеству. Понятие же расплывчатости относится к классам, в которых могут иметься различные градации степени принадлежности, лежащие между полной принадлежностью и непринадлежностью объектов к данному классу».

В настоящее время как методологические разработки, так и имеющийся опыт свидетельствуют о том, что применение теории расплывчатых множеств дает хорошие результаты при моделировании сложных социально-экономических систем.

Байесовский подход предлагает формальный, достаточно подробно разработанный аппарат для исследования влияния выборочной информации на имеющиеся априорные представления об объекте. В результате, как уже говорилось, получается апостериорная функция плотности распределения вероятностей, относящаяся к параметрам (объектам) или к проверяемым гипотезам. Можно сказать, что байесовская процедура изменения первоначальных априорных представлений является примером обучающейся на опыте системы.

Теорема Байеса (или правило Байеса, или принцип обратной вероятности) применяется для анализа широкого круга статистических проблем. Выбирая априорную функцию плотности распределения вероятностей, можно при анализе проблемы использовать больше или меньше априорной информации. Вследствие того что функция правдоподобия включает в себя всю выборочную информацию, апостериорная

функция плотности распределения вероятностей включает всю доступную информацию — как априорную, так и выборочную. Полученная таким образом апостериорная функция плотности распределения вероятностей является точной функцией для случая выборки конечного объема, и с ее помощью могут быть получены соответствующие апостериорные вероятностные утверждения о параметрах модели. В этих условиях нет необходимости полагаться на выводы асимптотической теории.

В эконометрическом анализе экономических проблем выборочная информация служит для получения выводов относительно параметров модели. Но, как правило, при изучении конкретных экономических задач исследователь имеет (из теории, прошлого опыта и других источников) и иную информацию. Если эта информация корректна, то — особенно в случае выборок малого объема — ее необходимо включить в статистическую процедуру оценивания параметров, так как она увеличивает точность получаемых выводов. В классическом подходе априорная информация учитывается, как правило, в форме точных ограничений на параметры модели. Учет ограничений в форме неравенств не всегда приводит к хорошим результатам и неудобен с технической стороны. Байесовский подход, выражающий априорную информацию в терминах функции плотности распределения вероятностей, часто является более удобным и гибким, чем классический, и позволяет учитывать влияние разнородной априорной информации, имеющейся в распоряжении исследователя, на параметры модели.

Важным преимуществом байесовского подхода является удобство исследования эффекта отклонения от сделанных в модели допущений. Использование условных апостериорных функций плотности распределения вероятностей позволяет исследователю определить чувствительность его выводов относительно некоторого подмножества параметров при определенных предположениях о других параметрах модели.

Существуют различия байесовского и классического подходов в области сравнения и проверки гипотез и моделей. Байесовский подход приписывает вероятности гипотезам и предлагает формальную техническую процедуру модификации этих вероятностей по мере получения новой информации. Полученные апостериорные вероятности, связанные с гипотезами или моделями и учитывающие всю априорную и выборочную информацию, могут рассматриваться как мера степени уверенности исследователя в этих гипотезах или моделях.

Если к тому же могут быть определены потери, связанные с принятием или отклонением некоторой гипотезы, то исследователь имеет возможность действовать так, чтобы минимизировать ожидаемые потери.

Резюмируя, можно сказать, что байесовский подход открывает новые возможности в таких трудных для классической эконометрии областях, как проблемы малой выборки и ошибки измерения в переменных, дает формальный аппарат для учета априорной информации

и пересмотра оценок коэффициентов моделей по мере поступления но вой информации (что может оказаться весьма полезным в «скользящей» системе прогнозирования и планирования), для проверки чувствительности модели к малым отклонениям в исходной информации. Кроме того, байесовский подход устанавливает непосредственную связь между оцениванием параметров модели и принятием решений на основе модели. Но это не значит, что выгоды байесовского подхода достаются «бесплатно» — за них исследователю приходится расплачиваться более суровыми требованиями к априорной информации, сложностью вычислительных процедур.

При переводе опущено приложение, в котором рассматриваются программы на языке Фортран, находящие применение в численном интегрировании.

Монография А. Зельнера представит интерес для всех, кто работает с экономико-математическими методами в нашей стране как в области теоретических разработок, так и в области практического их приложения.

Г. Г. ПИРОГОВ,

Ю. П. ФЕДОРОВСКИЙ