9.1. ПОЛНОСТЬЮ РЕКУРСИВНЫЕ МОДЕЛИ

Мы предположим, что наблюдения генерированы следующей моделью:

где является -мерным вектор-столбцом наблюдений за внутрисистемной переменной; матрица размерности наблюдений за заранее определенными переменными, входящими в уравнение с вектором коэффициентов ранг которой равен вектор вектор-столбец коэффициентов; — -мерный вектор-столбец возмущений; являются скалярными коэффициентами Далее мы предположим, что компоненты вектора , нормально распределены с нулевыми математическими ожиданиями и ковариационной матрицей

где является диагональной матрицей, в которой на главной диагонали стоят дисперсии . Таким образом, (9.3) наряду с допущением нормальности означает, что все компоненты и являются независимо распределенными и что возмущения в различных уравнениях имеют разные дисперсии.

Учитывая сделанные выше допущения о распределениях и замечая, что якобиан преобразования от переменных и к переменным у равен 1, мы получим функцию правдоподобия в следующем виде:

где обозначает заданные начальные условия,

Что касается априорных допущений, то мы используем расплывчатую ФПВ, где

причем нижний индекс обозначает вектор-столбец. В этих условиях совместная апостериорная ФПВ для векторов имеет вид

Можно сразу заметить, что в (9.6) каждый сомножитель содержит параметры определенных уравнений, и, следовательно, параметры каждого уравнения апостериори распределены независимо от параметров других уравнений. Апостериорная ФПВ для параметров уравнения имеет вид

где

. Таким образом, условная апостериорная ФПВ для вектора при фиксированном является многомерной нормальной ФПВ с вектором математических ожиданий Интегрируя далее (9.7) по мы найдем, что маргинальная апостериорная ФПВ параметра имеет вид

где есть число компонент . Иными словами, (9.9) является обратной гамма-ФПВ. Наконец, интегрируя (9.7) по получим маргинальную апостериорную ФПВ для в виде выражения

т. е. в форме, соответствующей многомерному -распределению Стьюдента с вектором математических ожиданий который был представлен в (9.8). Необходимо также отметить, что является оценкой МНП вектора

Можно видеть, что результаты, полученные для полностью рекурсивных систем, при известных начальных условиях полностью аналогичны байесовским результатам анализа многомерной регрессионной модели. Таким образом, многие из результатов, полученных для многомерной регрессионной модели, могут применяться при анализе уравнений полностью рекурсивных моделей. Например, если мы вместо расплывчатой априорной ФПВ для компонент вектора возьмем информативную априорную ФПВ в многомерной нормальной форме, т. е.

где является вектором априорных математических ожиданий и априорной ковариационной матрицей, то совместная апостериорная ФПВ для вектора при условии, что априорная ФПВ для параметра есть имеет вид

где означает априорную информацию.

Можно убедиться в том, что апостериорная ФПВ в (9.12) является тем, что Тиао и Зельнер [138] назвали «-нормальная форма», для анализа которой могут быть приложены развитые этими авторами методы (см. приложение 4.1). Кроме того, если информативная априорная ФПВ для имеет форму обратной гамма-ФПВ и введена в рассмотрение вместе с нормальной априорной ФПВ для в (9.11), то легко может быть показано, что совместная апостериорная ФПВ вектора имеет -нормальную форму. Среди других результатов, которые могут быть перенесены из регрессионного анализа и применены для анализа полностью рекурсивных моделей, надо указать анализ автокорреляций и преобразований Бокса — Кокса. Затем также нетрудно получить прогнозную ФПВ для в момент времени. Получение соответствующего результата для моментов времени и т. д. является в случае авторегрессионных систем затруднительным.

Простота полностью рекурсивной модели в части, касающейся ее треугольной формы и анализа, является впечатляющей. Однако есть основания полагать, что предположение о некоррелированности возмущений во многих случаях не является удовлетворительным. Займемся теперь анализом треугольных систем, не предполагая, что ковариационная матрица является диагональной.