ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Дана расплывчатая априорная ФПВ для различных элементов положительно-определенной симметрической ковариационной матрицы размерности 2x2; иными словами, известна причем . Выведите следующую отсюда априорную ФПВ коэффициента корреляции и опишите ее свойства.

2. Пусть являются двумерными вектор-столбцами наблюдений, полученными независимым случайным отбором из двумерной нормальной генеральной совокупности с вектором математических ожиданий и положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности 2x2. Выведите двумерную маргинальную апостериорную ФПВ для и с помощью расплывчатой априорной ФПВ для , и различных элементов матрицы .

3. Используя условия упражнения 2, выведите апостериорную ФПВ для разности математических ожиданий Получите также маргинальные апостериорные ФПВ для параметра и коэффициента корреляции .

4. Предположим, что в упражнении 2 каждый у; является -мерным вектор-столбцом, является положительно-определенной симметрической матрицей размерности . Приняв расплывчатые априорные допущения относительно и различных элементов матрицы , покажите, что маргинальная апостериорная ФПВ для параметра имеет форму многомерной -ФПВ Стьюдента, и получите маргинальную апостериорную ФПВ для параметра

5. В условиях задачи 4 объясните, как построить 90%-ный доверительный байесовский интервал для , где с является известной -мерной вектор-строкой.

6. В упражнении 4 получите маргинальную апостериорную ФПВ для различных элементов матрицы и прокомментируйте ее свойства. Из апостериорной ФПВ для матрицы выведите апостериорную ФПВ для матрицы , где А является невырожденной матрицей размерности , элементы которой суть известные величины.

7. Используя апостериорную ФПВ для матрицы , полученную в упражнении 6, выведите маргинальную апостериорную ФПВ для различных элементов матрицы размерности которая, являясь подматрицей матрицы , определяется следующим образом:

8. Постройте апостериорные ФПВ для матриц при условии, что апостериорная ФПВ для матрицы получена в упражнении 6.

9. Рассмотрим стандартную многомерную регрессионную модель которая проанализирована в 8.3. Из маргинальной апостериорной ФПВ для элементов матрицы В, показанной в (8.24), выведите апостериорную ФПВ для элементов матрицы где С является невырожденной матрицей размерности k X k, элементы которой суть известные величины.

10. Пусть где матрицы имеют размерности при и В является матрицей регрессионных коэффициентов размерности . Пусть строки матриц размерности являются независимо и нормально распределенными с нулевыми векторами математических ожиданий и строки матрицы имеют общую положительно-определенную симметрическую ковариационную матрицу размерности строки матрицы имеют общую положительно-определенную симметрическую ковариационную матрицу размерности Пусть являются заданными матрицами, ранг которых равен k. Используя следующую расплывчатую априорную ФПВ:

где элементы В принадлежат при покажите, что предельная апостериорная ФПВ для матрицы В представляется в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых имеет форму обобщенной -ФПВ Стьюдента.

11. Постройте главный нормальный член в асимптотическом разложении апостериорной ФПВ для матрицы В, полученной в упражнении 10.

12. Рассмотрим следующую систему регрессионных уравнений

где являются коэффициентами регрессии; заданными величинами двух независимых переменных; зависимыми переменными; возмущениями. Предположим, что матрица размерность которой имеет ранг 2 и что пара случайных переменных для является нормально и независимо распределенной, каждая с нулевым вектором математических ожиданий и общей положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности . Предполагая, что элементы матрицы являются известными величинами, выведите условную апостериорную ФПВ для коэффициентов регрессии , используя расплывчатую априорную ФПВ.

13. Пусть в упражнении . Получите условную апостериорную ФПВ для при заданной матрице Иными словами, постройте Каковы математическое ожидание и ковариационная матрица этой условной апостериорной ФПВ? Какое влияние оказывает условие на апостериорную дисперсию коэффициента ?

14. Используя результаты упражения 13, сравните апостериорную дисперсию при заданных с апостериорной дисперсией в случае известной полученной из анализа с помощью расплывчатой априорной ФПВ для коэффициента

Покажите, что выражение в (8.81) сводится к если

а) является диагональной матрицей и/или

б)

Интерпретируйте величину . Рассмотрите также форму (8.82) при условиях а) и б).