ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Объясните, почему и как именно выражение для ожидаемых потерь в (11.7) зависит от

2. Рассмотрите функцию потерь в Пусть является математическим ожиданием прогнозной ФПВ для z. Покажите, что , где обозначает член порядка

При анализе однопериодной задачи управления в случае простого регрессионного процесса (11.1) с функцией потерь вида (11.3) мы применяем расплывчатую априорную ФПВ для параметров . Используйте ту же самую функцию потерь и информативную априорную ФПВ параметров и с в виде ФПВ гамма-нормального распределения, т. е. , где является нормальной ФПВ с априорным математическим ожиданием и априорной дисперсией , где принимают

приписанные им исследователем значения для отражения априорной информации относительно и о, и получите оптимальную установку значения управляющей переменной . Сравните это значение w и связанные с ним ожидаемые потери с соответствующими выражениями в (11.8) и (11.10), полученными при помощи расплывчатой априорной ФПВ.

4. При каких условиях в (11.8) будет настолько большим, что w будет приближенно равняться

5. Имеет ли смысл рассматривать величины в правой части (11.10) как случайные наценивать математическое ожидание (11.10) с применением ФПВ для

6. Обсудите, до какой степени функция потерь где является номинальным годовым изменением агрегированного дохода США и -целевым значением для z, может рассматриваться в качестве удовлетворительной функции потерь, пригодной для приложения при разработке экономической политики.

7. Если мы имеем функцию потерь в неспецифицированном виде, где а есть заданная величина, a z имеет ФПВ, представленную в (11.6), то объясните, как математическое ожидание L, т. е. при условии его существования, может быть аппроксимировано с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности математического ожидания

8. Используя разложение в ряд, как в задаче 7, получите аппроксимацию где является «истинной» функцией потерь, а — заданной константой и z имеет ФПВ, приведенную в (11.7) основного текста главы. Вычислите члены ряда для случая указав порядок относительно Т, остающихся в разложении для дальнейшего анализа, и отброшенных членов.

9. Предположим, что истинная функция потерь имеет вид , где а является целевым значением и имеет прогнозную ФПВ, приведенную в (11.6). Вместо истинной функции потерь мы применим где . Сравните оптимальные значения и ожидаемые потери, связанные с

10. В задаче 9 исследуйте последствия решений, основанных на где сопоставив их с последствиями решений, основанных на использовании где является заданной константой, удовлетворяющей условию

11. В связи с функцией потерь, представленной в (11.5), исследуйте последствия использования функции потерь, искажающей издержки изменений установки управления, т. е.

12. Допустим, что модель в (11.1) имеет свободный член, т. е. . При наличии расплывчатой априорной ФПВ параметров выведите прогнозную ФПВ для и воспользуйтесь ею затем для получения математического ожидания функции потерь в

(11.15). Исследуйте три его составляющие компоненты. Далее, аналогично результату, представленному в (11.7), покажите, что значение минимизирующее ожидаемые потери, может быть выражено в виде средней взвешенной значений w, минимизирующих индивидуально каждую из трех составляющих компонент ожидаемых потерь.

13. В задаче максимизации прибыли, проанализированной в (11.18) и далее, в качестве управления была выбрана цена. Проанализируйте задачу при условии, что управлением является объем выпуска продукции и что уравнение спроса имеет вид , где являются параметрами с неизвестными значениями, — случайным возмущением. При необходимости используйте дополнительные допущения, а в качестве функции издержек — (11.20).

14. Сделайте в задаче 13 допущение, что с изменением выпуска q связаны некоторые издержки и что эти издержки могут быть аппроксимированы квадратичной функцией издержек. Как модифицируется решение задачи 13 при введении в рассмотрение издержек изменения

15. Рассмотрите модель (11.38) при условии, что некоторые из переменных, не являющихся управляющими, имеют стохастический характер (например, одна из них может быть мерой выпадающего количества осадков). Объясните, как это дополнительное условие повлияет на задачу определения значения в (11.39), минимизирующего математическое ожидание функции потерь в (11.40). Сформулируйте допущения относительно стохастических переменных, не являющихся управлениями, которые позволяют определить оптимальное значение

16. Выражение в (11.73) обеспечивает базу для сравнения решений типа «последовательного обновления» и типа «здесь и сейчас». Каков порядок относительно Т последнего члена в правой части (11.73), который является приближенным снижением потерь в результате применения последовательно обновленного решения вместо решения типа «здесь и сейчас»?

17. Сделайте критический обзор экономических соображений, легших в основу функции потерь, приведенной в (11.109), и экономических последствий ее использования.