1.6. СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ПРАВИЛ ДЖЕФФРИСА

Из восьми правил, перечисленных в параграфе 1.5, вытекают важные следствия для теорий индуктивного процесса. Как замечает Джеффрис, «они исключают... всякое определение вероятности, которое определяет вероятность в терминах бесконечных множеств возможных наблюдений, поскольку мы практически не можем сделать бесконечного числа наблюдений. Предел Венна, гипотетическая бесконечная совокупность Фишера и система Уилларда Гиббса становятся для нас бесполезными, как только мы принимаем правило 3... Фактически становится недопустимым любое «объективное» определение вероятности в терминах реальных или возможных наблюдений. Это происходит потому, что если наши фундаментальные принципы хотя бы частично зависят от наблюдений или структуры реального мира, то мы должны признать одно из двух: либо 1) наблюдения, которые мы можем сделать,

нам первоначально неизвестны — тогда мы не можем знать наших фундаментальных принципов и, следовательно, мы не имеем исходной точки, из которой мог бы начаться процесс; либо 2) мы уже знаем нечто априори о наших наблюдениях за структурой мира, но это запрещено правилом 5» [66, с. 11].

Далее он поясняет, что «существом нынешней теории является не вероятность, а просто частота. Фундаментальной идеей является введение разумного уровня уверенности, который удовлетворяет некоторым правилам непротиворечивости и в соответствии с этими правилами может быть формально выражен числом...» [66, с. 401]. Таким образом, в терминах классификации теорий вероятностей Де Финетти теория Джеффриса является субъективной теорией, пытающейся разработать непротиворечивые процедуры поведения в условиях неопределенности в противоположность тем субъективным теориям, которые пытаются охарактеризовать психологическое и рациональное поведение в условиях неопределенности».

Если рассматривать вероятность как представление разумной степени уверенности, а не частоты, то вероятности, выраженные числами, могут быть связаны со степенями нашего доверия к высказываниям об эмпирических явлениях. Это является характерной особенностью байесовского подхода к выводу. Или, как ставит проблему Джеффрис, «существует достаточно веская примитивная идея выражения степени доверия, которое разумно иметь по отношению к некоторому высказыванию, даже если мы не в состоянии ни доказать, ни опровергнуть это предложение дедуктивно» [66, с. 15]; например, когда исследователь, рассматривая некоторое конкретное объяснение наблюденного явления, может сказать, что это объяснение «вероятно, истинно». Байесовский подход, и теория Джеффриса в особенности, включает квантификацию таких высказываний, как «вероятно, истинно» и «вероятно, ложно», путем использования числовых вероятностей для представления степеней доверия или уверенности, которую индивидуум питает к некоторому высказыванию. Используя в этой связи вероятности, мы автоматически допускаем, что высказывание может оказаться необоснованным в соответствии с правилом 4. Почти так же, в той мере, в которой естественный мыслительный процесс ассоциирует вероятности с неопределенными высказываниями, мы можем утверждать, что формализация этой процедуры в байесовском подходе соответствует правилу 7 Джеффриса.

Разумеется, степень нашей разумной уверенности в некотором высказывании, например высказывании об экономическом поведении, дедуцированном из гипотезы перманентного дохода, зависит от состояния нашей информации на данный момент времени. Поэтому в общем случае вероятность, представляющая степень нашей разумной уверенности в некотором предложении, всегда есть условная вероятность, при условии нынешнего состояния нашей информации. По мере изменения

нашей информации относительно какого-либо конкретного высказывания мы пересматриваем его вероятность или нашу уверенность в нем. Этот процесс пересмотра вероятностей, связанных с высказываниями, по мере поступления новой информации составляет существо обучения на опыте. Из последующего изложения мы увидим, что процесс пересмотра вероятностей, представляющих степени уверенности в высказываниях, по мере поступления новой информации может быть операционализован и квантифицирован в соответствии с правилом 3 путем использования простого результата теории вероятностей, называемого теоремой Байеса.

Рис. 1.1. Процесс пересмотра вероятностей при получении новых данных

Схематически процесс пересмотра вероятностей при поступлении новых данных (обозначены через ) представлен на рис. 1.1. Прямоугольники (1) и (2) в верхнем левом углу рисунка обозначают, что наши первоначальные, или априорные, вероятности, связанные с некоторым конкретным предложением базируются на нашей первоначальной информации Эта информация в общем случае весьма разнообразна; обычно она представляет собой комбинацию информации, полученной из предыдущих исследований, теоретических соображений и случайных наблюдений. С помощью прямоугольников (3) и (4) в нижнем левом углу рисунка показано, что функция распределения плотности вероятностей (ФПВ) для новых наблюдений у при определенном условии Н, т. е. заданном высказывании, базируется на нашей первоначальной информации Эта ФПВ есть хорошо известная функция правдоподобия. Затем, объединяя априорную вероятность с функцией правдоподобия с помощью теоремы Байеса, получаем апостериорную вероятность Очевидно, что апостериорная вероятность зависит как от априорной информации так и от выборочной информации у. Таким образом, мы достигаем пересмотра нашей первоначальной априорной вероятности , учитывая информацию,

заключенную в наших новых данных; иными словами, преобразуется с помощью теоремы Байеса в

Если мы заинтересованы в параметре мы используем подход, представленный на рис. 1.1, заменив на Н, т. е. в прямоугольнике (2) мы поместим вместо причем будет априорной ФПВ для параметра при условии нашей первоначальной информации. Эта априорная ФПВ представляет нашу первоначальную уверенность в предположениях о параметре базирующуюся на нашей первоначальной информации . В прямоугольнике (4) мы будем иметь функцию правдоподобия. Затем, объединяя с помощью теоремы Байеса мы получим в прямоугольнике (6) апостериорную ФПВ Эта последняя ФПВ содержит как нашу первоначальную информацию, представленную априорной ФПВ , так и нашу выборочную информацию у. Апостериорная ФПВ может быть использована для построения вероятностных утверждений о , например для вычисления вероятности того, что где а и b — заданные числа. Этот и другие пути приложения апостериорной ФПВ проиллюстрированы примерами в последующих главах. Здесь же уместно подчеркнуть, что апостериорная ФПВ представляет нашу уверенность в предположениях о параметре и содержит как априорную, так и выборочную информацию. По мере накопления выборочной информации эта информация при весьма общих условиях начинает все более преобладать в апостериорной ФПВ, которая все более концентрируется вокруг истинного значения параметра. Кроме того, если два исследователя располагали различными априорными ФПВ, вследствие, может быть, обладания разной первоначальной информацией их апостериорные ФПВ будут сближаться при малоограничительных условиях, по мере того как исследователи будут присоединять дополнительные общие данные к своим априорным ФПВ, поскольку с ростом общей базы данных ее информация будет размывать первоначальную априорную информацию.

Крайне важно понять, что процедура, представленная графически на рис. 1.1 и описанная словесно выше, операциональна и приложима в целях практического анализа широкого спектра моделей и проблем в эконометрии и других областях науки. Это так и должно быть, потому что обрисованная выше в общей схеме процедура является центральной в индуктивном процессе, как его представляют себе Джеффрис и другие. Фундаментальную важность представляет факт признания того, что существует единый и операциональный подход к проблемам вывода в эконометрии и других областях знаний. Изучаем ли мы, например, адаптивные модели, основанные на анализе временных рядов, простые регрессионные модели или модели, представляющие собой «системы одновременных уравнений», подход и принципы останутся неизменными. Эта точка зрения резко контрастирует с другими подходами к выводу, которые предлагают индивидуальные методы и принципы для решения различных проблем.

Поскольку в прошлом большинство эконометриков пользовалось в своей работе небайесовскими методами, весьма интересно и полезно сравнить байесовский и небайесовский подходы к анализу широкого спектра моделей и проблем. В последующих главах автор пользуется именно этим сравнительным подходом, ибо, как несколько лет назад заметил Анскомб, говоря о состоянии статистической науки, «правильная оценка ситуации может быть получена только в результате сопоставления классического и байесовского подходов к разнообразным статистическим проблемам, выяснения того, что делает каждый из подходов и насколько хорошо он это делает» [5, с. 21].