11.1. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ОДНОПЕРИОДНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

Первой из рассматриваемых нами задач управления является задача, описываемая простой регрессионной моделью. Иными словами, мы делаем допущение, что модель, генерирующая наши наблюдения, является простой регрессионной моделью, рассмотренной в 3-й главе:

В (11.1) является неизвестным параметром; наблюденными в момент времени t значениями зависимой и независимой переменных соответственно; случайным ненаблюдаемым возмущением. Мы допускаем, что независимая переменная — управляемая и что случайные величины нормально и независимо распределены, каждая с нулевым математическим ожиданием и неизвестной дисперсией, равной

В первый будущий период, мы имеем, принимая обозначения Z за

где величина нормально распределена с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной а также независима от всех

предшествующих возмущений. Допускается также, что мы еще не наблюдали и не определяли значения

При построении критерия мы будем исходить из допущения, что желаем обеспечить максимальную близость z к некоторому целевому значению, обозначаемому через а. Допустим, что потери, связанные с отклонением z от целевого значения, задаются следующей квадратичной функцией потерь:

Поскольку z является случайной переменной, также случайна, а случайную функцию минимизировать невозможно. Правильнее поэтому сформулировать нашу задачу управления, как задачу минимизации математического ожидания относительно выбора w, т. е. мы имеем задачу

где z зависит от управления w, как показано в (11.2).

Математическое ожидание функции потерь задается следующим выражением:

где является прогнозной ФПВ для при заданной информации выборки у и значении управления . Из результатов, полученных в 3-й главе, известно, что имеет форму ФПВ -распределения Стьюдента в случае, если мы используем расплывчатую априорию ФПВ для

где Математическое ожидание этой ФПВ есть , т. е. оно очевидным образом зависит от w. Поскольку g зависит от «сплюснутость» ФПВ, равно как и ее математическое ожидание, зависит от значения управления

Ввиду того что при мы получаем

Поскольку (11.7) является квадратичной функцией относительно w, легко показать, что значение w, минимизирующее ожидаемые потери, равно:

где

Отсюда видно, что w равно произведению двух сомножителей. Первый является целевым значением z, деленным на математическое ожидание апостериорной ФПВ для , а именно на . Второй сомножитель является функцией . Ввиду того что апостериорная дисперсия , является квадратом коэффициента точности апостериорной ФПВ для . Если точность оценивания, измеряемая посредством возрастает, то возрастает и и второй сомножитель в (11.8) стремится к единице. Таким образом, если мы получили очень хорошую оценку для , то (11.8) приближенно равно Для понимания того, насколько хорошо аппроксимирует w, полезно рассмотреть следующую таблицу:

Отсюда видно, что даже при составляет 0,9 от Таким образом, если точность оценивания не слишком велика, использование аппроксимации дает субоптимальные значения для w и соответственно большие ожидаемые потери (см. ниже).

Здесь уместно подчеркнуть, что если мы употребим условное значение как это сделано в подходе «эквивалентной достоверности»,

то наша функция потерь будет аппроксимироваться функцией и значение до, минимизирующее это выражение и обозначаемое через , есть

Решение эквивалентной достоверности является первым сомножителем в (11.8). Второй сомножитель (11.8), отражающий влияние точности оценивания , не появляется в (11.9).

Для того чтобы показать, как применение субоптимального значения для w ведет к более высоким ожидаемым потерям по сравнению с до в (11.8), вычислим при и при досе с помощью (11.7). Получаем следующие результаты

Абсолютное увеличение ожидаемых потерь, связанных с употреблением вместо оптимального значения равно:

Отсюда видно, что это увеличение ожидаемых потерь зависит не только от точности оценивания, измеряемой с помощью но также и от квадрата целевого значения . Только в случае отсутствует увеличение ожидаемых потерь, связанных с использованием . Для целевых значений а, достаточно далеко расположенных от нуля, вклад в величину (11.12) может быть весьма существенным.

Для получения дальнейшей информации относительно последнего утверждения в табл. 11.1 представлены относительные ожидаемые потери (ООП), рассчитываемые следующим образом:

Из данных табл. 11.1 явствует, что применение оптимального значения до, равного до и задаваемого (11.8), приводит к снижению ожидаемых потерь по сравнению с использованием аппроксимирующего решения, полученного на основе подхода эквивалентной достоверности, причем это снижение потерь тем больше, чем меньше мера точности оценивания параметра — и чем больше

Для иллюстрации приложимости результатов этого анализа мы используем данные о годичном изменении национального дохода США, и годичном изменении предложения денег в США, При допущениях, сделанных в связи с (11.1),

Таблица 11.1. Относительные ожидаемые потери (11.13) как табличная функция от

наша задача состоит в том, чтобы с помощью этих данных за 1921-1929 гг. и расплывчатой ФПВ для и а найти такое изменение предложения денег в 1930 г. которое максимально приблизило бы изменение национального фонда в этом году к намеченному значению 10 млрд. дол. Симметрия квадратичной функции потерь предполагает, что мы рассматриваем превышение, имеющее своим следствием инфляцию, настолько же серьезным, насколько и ее недостижение, вызывающее дефляцию. Основываясь на данных с 1921 по 1929 г., мы получаем

где число в скобках является обыкновенным средним квадратичным отклонением коэффициента , в то время как

При наличии этих выборочных статистик можно вычислить оптимальные значения изменения предложения денег в 1930 г. и соответствующие ожидаемые потери. Для сопоставления рассчитаем также аппроксимацию подхода эквивалентной достоверности и связанные с ней потери. Получаем:

В этом примере существенно отличаются друг от друга и использование w дает снижение ожидаемых потерь примерно на 8%.

Далее представляется интересным немного усложнить введенную выше простую квадратичную функцию потерь в целях учета возможных издержек, связанных с изменением управления. Это будет сделано следующим образом:

где с — известная неотрицательная константа, — намеченное значение; установленное значение управления в момент Т. Поскольку изменение управления в момент есть Таким образом, мы предположили, что потери, связанные с изменением управления, пропорциональны Применив ФПВ (11.6) для z, получим ожидаемые потери в виде

Очевидно, что первое слагаемое в правой части (11.16) будет минимизировано, если второе — если третье — если

Определяя величину w, минимизирующую М (L) в (11.16), получим

являющуюся средней взвешенной величин Конечно, если то (11.17) может быть интерпретировано как средняя взвешенная и а именно Из (11.17) видно, что до с возрастанием с. Иными словами, если изменение управления становится более дорогостоящим, то до принимает значение, более близкое к исходной величине . Результатом этого является малое изменение управления и меньший вклад в ожидаемые потери. В общем при конечном положительном с решение до (11.17) всегда находится между решением до в (11.8) при Таким образом, для имеет место а для имеет место если с положительно. Итак, с введением издержек изменения управления возникает некоторая консервативная тенденция в том смысле, что оптимальное изменение управления, до будет меньше по абсолютной величине при с чем в случае т. е. в случае отсутствия издержек, связанных с изменением управления.

В качестве другого примера однопериодной задачи управления мы рассмотрим задачу максимизации прибыли монополистом при условии неопределенности в его знаниях о параметрах функции совокупных издержек и функции спроса. Пусть обозначает прибыль; — цену, являющуюся управлением; q — выпуск продукции; С —

совокупные издержки. Тогда мы имеем

где значение всех переменных взяты в первый будущий момент времени Далее допустим, что функция спроса на продукцию монополиста и функция его совокупных издержек задаются в следующем виде:

и

где все являются неизвестными параметрами (по допущению случайными), а нормальными независимыми случайными возмущениями с нулевыми математическими ожиданиями и постоянными дисперсиями, равными соответственно.

При заданных прошлых значениях и априорной ФПВ для параметров можно получить апостериорную ФПВ для параметров и прогнозную ФПВ для Последняя может быть применена для получения математического ожидания величины которая является случайной вследствие зависимости от q и С — случайных величин. Этим результатом можно воспользоваться для получения оптимального значения цены в период . Альтернативная, более простая и эквивалентная, процедура решения нашей задачи заключается в подстановке (11.19) и (11.20) в (11.18) для получения

где являются случайными. Математическое ожидание равно:

где и а являются апостериорными математическими ожиданиями; апостериорными дисперсиями и ковариацией соответственно; есть апостериорное математическое ожидание . Рассматривая математическое ожидание в (11.22), важно отметить, что параметры функции спроса, , апостериори независимо распределены относительно параметров функции издержек, а, так как мы сделали допущение, что в (11.19) и (11.20) распределены независимо и, более того, что наши априорные ФПВ используют допущение независимости двух множеств параметров.

Дифференцируя (11.22) по управляющей переменной , получим

Значение , при котором эта производная обращается в нуль, т. е. цена, максимизирующая ожидаемую прибыль, равна:

где . Величина в (11.24) должна быть положительной по своему экономическому смыслу.

Отметим, что если мы подставим значение математических ожиданий вместо в (11.21) и максимизируем по , то полученный результат может быть представлен в виде

т. е. может быть получен из (11.24) при Альтернативно, стремится к нулю, если информация относительно возрастает, в то время как может стать равным нулю, если являются независимыми параметрами. При этих условиях в (11.25) приближенно равно оптимальному значению в (11.24).

Из (11.24) можно увидеть, что если неопределенность относительно измеряемая с помощью уменьшается, то будет уменьшаться при условии, что Таким образом, если монополист получает сведения относительно величины в форме знания апостериорной ФПВ для этого параметра с прогрессивно убывающей дисперсией, то цена, максимизирующая его прибыль, также падает. Из (11.24) также явствует, что имеет место интересная зависимость от апостериорной ковариации При условии, что , чем больше значение тем меньше . Из рассмотренного можно сделать вывод о том, что введение в модель допущений о неполном знании и стохастичности элементов модифицирует и обогащает результаты традиционной экономической теории.