А.2. ФПВ ОДНОМЕРНОГО t-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА (О t-ФПВ С)

Случайная переменная имеет одномерное -распределение Стьюдента, если и только если она имеет следующую ФПВ:

где и где Г есть знакомая гамма-функция. Эта ФПВ имеет три параметра: . Из рассмотрения видно, что О -ФПВ С имеет единственную моду в точке и является симметричной относительно этой моды, Таким образом, является к тому же и медианой и математическим ожиданием (которое существует при см. ниже) О -ФПВ С. Следующие выражения дают нечетные и четные моменты относительно математического ожидания:

и

показано ниже, для существования момента относительно, должно выполняться Аналогично для

существования момента относительно должно удовлетворять условию . Поскольку -ФПВ С симметрична относительно все существующие моменты нечетного порядка, представленные равны нулю. В частности, так что (последнее существует при Что касается моментов четного порядка, представленных то моменты второго и четвертого порядков равны:

и

При условии, что дисперсия существует и очевидно, что она зависит от . Если то момент четвертого порядка существует и, как и зависит от v и

Ввиду того что О -ФПВ С является симметричной относительно мера скошенности, обсужденная в связи с ОН ФПВ, равна нулю, разумеется, при условии, что моменты, от которых она зависит, существуют. Что касается островершинности, то из следует, что

Таким образом, для конечных -ФПВ С соответствует кривая с положительным эксцессом вероятно, потому, что она имеет более толстые хвосты, чем ОН ФПВ с математическим ожиданием и дисперсией . С возрастанием v форма кривой О -ФПВ С приближается к форме кривой ОН ФПВ с математическим ожиданием и дисперсией

Мы можем получить стандартизованную форму -ФПВ С из выполнив следующее преобразование переменной:

С помощью мы получаем

При это выражение соответствует собственной нормированной стандартизованной О -ФПВ С. Эта ФПВ имеет единственную моду в точке и является симметричной относительно этой точки. Используя можно получить моменты t из соответствующих моментов для если они существуют.

Доказательство свойств О t-ФПВ

Для обоснования свойств О -ФПВ нам будут необходимы следующие результаты из математического анализа:

1. Если является непрерывной при а , где А является конечной константой для , то , т. е. интеграл абсолютно сходится.

2. Если является непрерывной при где с — константа при то

3. Соотношение, связывающее бета-функцию, обозначенную через и гамма-функцию, имеет вид:

где

Имея в виду эти результаты, покажем, во-первых, что О -ФПВ в при является собственной нормированной ФПВ. Отметим, что при Обозначив можно переписать в виде

где

это следует из (А.22). Сделав замену переменной , получим

Замечая, что получаем

так как интеграл в правой части в точности равен при условии, что . Последнее условие необходимо для справедливости

Результаты, касающиеся моментов нечетного порядка в могут быть легко получены из рассмотрения

где Для сходимости интеграла в необходимо выполнение условия что следует из применения свойств (1) и (2). Таким образом, если то моменты порядка существуют и равны нулю вследствие симметрии относительно

Выражение для моментов четного порядка в легко может быть получено путем вычисления интеграла

Для сходимости интеграла необходимо выполнение условия . Если это условие выполнено, то мы используем преобразование или . Таким образом, получаем

Получаем моменты второго порядка Учитывая, что выводим четные моменты

совпадающие с