7.3. АНАЛИЗ АВТОРЕГРЕССИОННОГО ПРОЦЕССА ВТОРОГО ПОРЯДКА

В этом параграфе мы покажем, как байесовские методы могут применяться для получения выводов о динамических свойствах решений стохастических разностных уравнений, которые часто встречаются в практике. Ниже будет представлен анализ линейной авторегрессионной модели второго порядка, предназначенной для ответа на следующего рода вопросы: какова на основе данных, которыми мы располагаем, апостериорная вероятность того, что решение модели будет невзрывным и колебательным? Или какова апостериорная вероятность того, что решение будет колебательным? Очевидно, что такие вопросы напоминают вопросы, заданные Самуэльсоном в его широко

известной работе [113] о взаимодействии мультипликатора-акселератора, а также рассмотренные Тейлом и Бутом в работе, посвященной анализу методами, базирующимися на больших выборках модели I Клейна [132].

Наша модель имеет следующий вид:

где есть наблюдение за случайной переменной; являются неизвестными коэффициентами, есть возмущение. Мы сделаем допущение, что нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной Кроме того, мы примем допущение, что заданы начальные значения после чего функция правдоподобия примет вид

где . Что касается априорной информации о то мы сделаем допущение, что, наша информация о них скудна, и формализуем это допущение следующим образом:

где . Потом, используя теорему Байеса, мы получим следующую апостериорную ФПВ для параметров:

Интегрирование по <т даст маргинальную ФПВ для

где

и

причем суммирование во всех случаях производится от до . Очевидно, что апостериорная ФПВ для а, и есть двумерная -ФПВ Стьюдента с вектором математического ожидания а, т. е. величиной, соответствующей оценивателю метода наименьших квадратов и представленной выражением (7.38).

Если нам заданы наблюдения у, мы можем использовать (7.37) для получения совместных выводов относительно и а тем самым и свойств решений, т. е. именно тех выводов, которые получил Самуэльсон в своей работе о модели мультипликатора-акселератора [113]. Мы можем определить области на плоскости соответствующие решениям, имеющим заданные свойства. Эти области для исследуемой нами модели представлены на рис. 7.1. Располагая совместной апостериорной ФПВ мы можем приложить методы двумерного численного интегрирования для вычисления соответствующих нормирующих постоянных и объемов, расположенных над каждой из областей.

Рис. 7.1. Области в пространстве параметров, для которых решение обладает заданными конкретными свойствами: (1) : взрывное и неколебательное; невзрывное и неколебательное; невзрывное и колебательное; взрывное и колебательное

Если апостериорные ФПВ для нормированы, то эти объемы являются вероятностями, относящимися к свойствам решения. Пусть, например, вычисленный апостериорный объем под ФПВ над областью «колебательного невзрывного решения» составляет 0,85, тогда мы скажем, что с вероятностью 0,85 решение будет колебательным и невзрывным. Кроме того, складывая вероятности того, что решение будет колебательным и невзрывным, и того, что решение будет колебательным и взрывным, мы получим вероятность колебательного решения. Аналогично, складывая вероятности того, что решение будет колебательным невзрывным, и того, что решение будет колебательным и невзрывным, мы получим вероятность невзрывного решения. Приложение этого подхода с использованием искусственно генерированных при помощи известных моделей данных представлено ниже.

Мы заметим далее, что можно строить апостериорные ФПВ для величин, определяющих конкретные свойства решения; например, из характеристического уравнения для нашей модели мы имеем следующие корни:

Известно, что решение будет колебательным, если Таким образом, может случиться, что интерес представляет получение апостериорной ФПВ для величины . Для получения этой ФПВ мы введем следующее преобразование:

т. е. перейдем от переменных к переменным и с ненулевым якобианом, не содержащим ни одной из переменных. Используя апостериорную ФПВ (7.37), получаем апостериорную ФПВ для

где суть элементы матрицы Н, представленной в (7.39). Используя методы двумерного численного интегрирования, можно проинтегрировать (7.42) по и нормировать ФПВ. В результате будет получена нормированная маргинальная апостериорная ФПВ для которую мы обозначим через На основе полученного распределения можно делать выводы относительно а следовательно, и относительно того, будет ли решение колебательным или нет.

Для иллюстрации приложения изложенных выше методов мы искусственно генерировали данные с помощью модели, представленной в (7.33), при условиях, заданных табл. 7.1. В каждом варианте получались путем независимого отбора из нормальной генеральной совокупности с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Объем выборки в каждом варианте составлял начальные значения и принимались равными нулю во всех трех вариантах.

Таблица 7.1

Линии уровней апостериорной ФПВ для вариантов А, Б, В представлены на рис. 7.2 вместе со средними для обозначенными через . Последние являются оценками метода наименьших квадратов, представленными в (7.38). Вычисленные объемы над областями, представленными на рис. 7.1, приводятся в табл. 7.2. Эти результаты хорошо согласуются с заранее известными свойствами решений, представленными в табл. 7.1. Анализируя вариант Б, следует иметь в виду, что при истинных значениях величина т. е. является малым числом. Располагая

только 20 наблюдениями, трудно делать точные выводы, и это отражается на результатах, а именно вероятность того, что решение будет неколебательным, составляет в то время как апостериорная вероятность колебательного решения составляет 0,245, т. е. является весьма существенной.

Наконец, в каждом из вышеуказанных вариантов была построена апостериорная ФПВ для Результаты представлены на

(см. скан)

Рис. 7.2. Линии уровней апостериорных распределений

Таблица 7.2.

рис. 7.3. Из графика следует, что в вариантах А и В на основе выборки ясно можно было диагностировать, является ли решение колебательным или нет. Как уже указывалось выше, в варианте т. е. является малым числом, и существенная часть ФПВ расположена над отрицательными значениями. Однако эта ФПВ корректно отражает информацию выборки относительно

(см. скан)

Рис. 7.3. Апостериорные распределения для

В заключение параграфа мы подчеркнем важность анализа динамических свойств моделей и выразим надежду, что последующие обобщения обсужденных выше методов, пригодные для анализа более широкого множества моделей, привлекут внимание исследователей.