ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть экспериментально измеренные урожайности нового сорта риса характеризует следующий набор данных: 10,40; 10,36; 9,16; 10,03; 9,31; 9,75; 8,69; 9,89. В условиях допущения, что эти данные генерированы независимыми выборками из нормально распределенной генеральной совокупности, постройте апостериорную ФПВ для математического ожидания урожайности в этой совокупности и для среднего квадратичного отклонения, используя расплывчатую априорную ФПВ для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения а, а именно

Постройте первые два момента маргинальных апостериорных ФПВ для и для а.

2. Из выражения (2.19), являющегося апостериорной ФПВ для среднего квадратичного отклонения , получите апостериорную ФПВ для дисперсии, и выражение для апостериорного математического ожидания и дисперсии Затем покажите, что апостериорная ФПВ для есть ФПВ вида степенями свободы (см. (А.35) в приложении А).

3. Предположим, что существует другое множество экспериментальных данных, независимое от множества, приведенного в упражнении 1, которое состоит из следующих урожайностей культивируемого в настоящее время сорта риса: 8,47, 7,35; 12,08; 7,83; 8,43; 10,29; 11,34; 8,40. Если считать, что эти данные генерированы путем независимых выборок из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением , то какова будет функция правдоподобия для параметров при массивах наблюдений, заданных в упражнениях 1 и 3? Постройте совместную маргинальную апостериорную ФПВ для при условии, что величины априори являются независимыми и нормально распределенными и каждая величина существует в интервале от до Далее, опираясь на анализ приведенный в приложении А, § 6, покажите, что апостериорная ФПВ для имеет вид F -ФПВ. Рассчитайте эту ФПВ и получите ее график. Сравните также апостериорные ФПВ для и для . Что показывают результаты сопоставления урожайности нового и старого сортов риса?

4. Если зависимость цены от урожайности в расчете на у имеет вид , где положительные параметры, число засеянных акров, то выручка от продажи составит . Пусть у — случайная переменная с математическим ожиданием и дисперсией Получите выражение для математического ожидания SR при заданных . Как зависит от Пользуясь апостериорными ФПВ для полученными при решении упражнения 1, вычислите апостериорное математическое ожидание

Рассмотрите в качестве альтернативной ФПВ при анализе примера 2.3 следующую естественно сопряженную «гамма-нормальную» ФПВ для и а:

где

т. е. ФПВ вида обратного гамма-распределения (см. приложение А,

т. е. ФПВ одномерного нормального вида, где суть заданные параметры априорной ФПВ и Определите моду маргинальной априорной ФПВ для . При каком условии на математическое ожидание и дисперсия этой ФПВ существуют? (См. приложение А, § 4.) (б) Определите среднюю и дисперсию нормальной условной ФПВ для если заданы . Проинтегрируйте совместную априорную ФПВ для и а по а и покажите, что полученная маргинальная априорная ФПВ для имеет вид одномерной -ФПВ Стьюдента. При каком условии на математическое ожидание и дисперсия этой ФПВ существуют? (См. приложение А, § 2.) Пусть это условие удовлетворяется. Получите априорные математическое ожидание и дисперсию Перечислите другие свойства маргинальных априорных ФПВ для и а и укажите, как эти свойства зависят от значений априорных параметров.

6. Объедините естественно сопряженную априорную ФПВ из упражнения 5 со следующей нормальной функцией правдоподобия:

где

и

и получите совместную апостериорную ФПВ для .

(а) Каковы вид и свойства маргинальной апостериорной ФПВ для а?

(б) Каковы вид и свойства условной апостериорной ФПВ для при заданных а, значениях априорных параметров и выборочных наблюдениях у?

(в) Каковы вид и свойства маргинальной апостериорной ФПВ для

7. В упражнении 2 вы получили апостериорную ФПВ для Рассмотрите и сравните две следующие функции потерь:

где являются положительными константами, а - точечными оценками. Какие значения минимизируют ожидаемые потери?

8. Сравните точечные оценки полученные при решении упражнения 7, с оценками метода наибольшего правдоподобия и других методов теории выборочных исследований для в задаче о математическом

ожидании нормального распределения с функцией правдоподобия, приведенной в упражнении 6. В частности, рассмотрите среднюю квадратичную ошибку оценивателя вида где с есть константа. Покажите, что , где математическое ожидание взято по ФПВ для при фиксированном имеет минимум при где При переходе к ожиданию заметьте, что имеет -ФПВ с степенями свободы. Сопоставьте полученный оцениватель с точечными оценками, полученными в упражнении 7.

9. Если z есть строго положительная случайная переменная и если переменная нормально распределена с математическим ожиданием (А и средним квадратичным отклонением, равным а, то говорят, что величина логарифмически-нормально распределена. Какова ФПВ для z? Покажите, что соответственно медиана и математическое ожидание ФПВ для .

10. Обозначим через натуральный логарифм годового дохода полученного в форме заработной платы лицом, т. е. . Далее предположим, что нормально и независимо распределены, каждый с математическим ожиданием и дисперсией Покажите в условиях допущения, что априорные ФПВ для и и имеют вид что апостериорная ФПВ для где — медиана -нормальной ФПВ для первого дохода в форме заработанной платы, имеет вид одномерной -ФПВ Стьюдента, вследствие чего апостериорная ФПВ для есть «логарифмическая» ФПВ Стьюдента.

11. В упражнении 10 покажите, что натуральный логарифм математического ожидания -нормальной ФПВ, имеет при заданном а нормальную условную апостериорную ФПВ с условным математическим ожиданием и условной дисперсией где Далее постройте совместную апостериорную

ФПВ для и объясните, каким образом эта двумерная ФПВ может быть нормирована и проанализирована с использованием методов численного интегрирования двойных интегралов?

12. Пусть производятся испытания, которые состоят в честном подбрасывании монеты. Пусть монета выпала орлом. Если известен этот исход единственного испытания, то какова функция правдоподобия и оценка метода наибольшего правдоподобия вероятности выпадения орла в единственном испытании? Если наша априорная ФПВ для равномерна, то каково математическое ожидание апостериорной ФПВ для ? С другой стороны, каково апостериорное математическое ожидание, если наша априорная ФПВ для задана Как вы интерпретируете тот факт, что оценка метода наибольшего правдоподобия и апостериорное математическое ожидание численно значительно разнятся?

13. Постройте графики апостериорных ФПВ из упражнения 12, ассоциированных с указанными выше двумя различными априорными ФПВ. Что можно сказать о точности, с которой может быть оценена на основе выборки объема Каковы апостериорные дисперсии и оценка метода наибольшего правдоподобия для дисперсии?

14. Опрошены 10 случайно отобранных из большой однородной генеральной совокупности потребителей. При опросе 4 из них ответили, что они купили товар что не купили. В условиях допущения, что выбор потребителем товара независим и что есть общая вероятность для элемента данной совокупности купить товар А, получите функцию правдоподобия и оценку метода наибольшего правдоподобия для . Какова будет апостериорная ФПВ для при использовании в качестве априорной ФПВ Определите математическое ожидание и моду и представьте обоснование выбора апостериорного математического ожидания в качестве точечной оценки вероятности покупки товара А в условиях квадратичной функции потерь.

15. В упражнении 14 получите апостериорную ФПВ для при помощи информативной априорной ФПВ в виде бета-ФПВ с априорным математическим ожиданием, равным 0,5, и априорной дисперсией, равной 0,024. Сравните априорные и апостериорные моменты.

16. Что является, по вашему мнению, источником или источниками априорной информации, приведенной в упражнении 15?