8.3. ТРАДИЦИОННАЯ МНОГОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ С ТОЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

В некоторых случаях известно, что определенные элементы в матрице В равны нулю или что некоторые элементы матрицы В подчинены точным линейным ограничениям. В этих условиях совместная апостериорная ФПВ матрицы В, приведенная в (8.24), должна быть представлена в условной форме, позволяющей включить эту информацию, и эта условная апостериорная ФПВ может быть использована для получения выводов относительно остальных, ненулевых коэффициентов. Обсуждение нескольких подобных примеров приводится ниже.

Если точные нулевые ограничения относятся только к компонентам некоторого конкретного вектора коэффициентов, скажем, вектора то апостериорное распределение вектора в (8.22), имеющее форму многомерной ФПВ Стьюдента, может быть легко проанализировано с целью получения условной ФПВ, которая включила бы условную информацию; например, если мы представим в блочном виде, т. е. рассмотрим , и нам известно дополнительно, что , то апостериорная ФПВ легко может быть получена. Другие точные линейные ограничения на компоненты вектора , также могут быть использованы с учетом свойств многомерной -ФПВ Стьюдента.

С другой стороны, если ограничения относятся к компонентам нескольких или всех векторов, то ситуация становится более запутанной. Частный случай, когда где известно, может быть легко рассмотрен при приложении результата (8.42); иными словами, если положить, что то мы получим условную апостериорную ФПВ для матрицы при заданной в форме обобщенного -распределения Стьюдента. Если же нулевые ограничения принадлежат к коэффициентам различных подмножеств переменных в уравнениях системы

где причем , то проблема становится более сложной, так как представление X в блочном виде

производится в общем случае различными способами для различных уравнений системы. Для анализа этого случая совместная апостериорная ФПВ матрицы В в (8.24) должна быть разложена в ряд и главный нормальный член в разложении должен быть рассмотрен при использовании ограничений .

Для разложения (8.24) представим его в виде

где Пусть Н является невырожденной матрицей, такой, что , где есть диагональная матрица с характеристическими корнями матрицы на главной диагонали. Корни будут малыми, если велико и где М — постоянная матрица.

Из следует, что . Таким образом, получим

Заметим, что где . С помощью аналогичных преобразований получим

Используя полученные результаты, приведем (8.60) к виду

где . С помощью разложения мы получим

где символ означает «приблизительно пропорционально». Главный сомножитель в (8.62) имеет многомерную нормальную форму распределения, т. е.

Тогда

где обозначает вектор коэффициентов, по предположению отличных от нуля; вектор коэффициентов, по предположению равных нулю; является элементом матрицы типовой элемент блочного представления матрицы и

является модифицированным вектором , при построении которого учтено условие, что часть коэффициентов априори равна нулю. Используя введенные обозначения, (8.64) может быть выражено в виде

Полагая и выделяя полный квадрат в экспоненте в (8.66), получим

Таким образом, математическое ожидание этой нормальной аппроксимации условной апостериорной ФПВ равно а ее ковариационная матрица равна: . Можно убедиться, что математическое ожидание равно сумме вектора оценок наименьших квадратов , и члена, содержащего вектор выборочных оценок нулевых ограничений