6.3. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Обобщенные производственные функции (ОПФ) представляют собой другой широкий класс функций, которые обычно нелинейны как относительно параметров, так и относительно переменных. Эти функции введены для того, чтобы обеспечить возможность обобщения в двух направлениях. Мы хотим иметь ПФ с некоторой эластичностью замены, свойства которой заранее определены исследователем: она может быть, например, постоянной, но неизвестной, или переменной, являющейся функцией от капиталовооруженности. Кроме того, мы хотим, чтобы наша ПФ обладала отдачей от масштаба, которая изменялась бы в зависимости от уровня выпуска в соответствии с заранее заданной исследователем функцией. Зельнер и Реванкар [158] разработали метод, кратко излагаемый ниже, который позволяет строить ПФ, удовлетворяющие обоим требованиям. Затем мы перейдем к задаче оценивания параметров некоторой конкретной ОПФ.

В детерминированных терминах мы рассматриваем следующее дифференциальное уравнение:

решение которого есть

где а (К) является функцией отдачи от масштаба, зависящей от уровня выпуска есть форма неоклассической ПФ и есть параметр отдачи от масштаба, связанный с . Функция выбирается так, чтобы обеспечить выполнение неравенства при всех Таким образом, (6.55) есть монотонное преобразование обладающее тем свойством, что изокванты будут иметь ту же форму, что и изокванты f. Вследствие этого параметр эластичности замены, постоянный или переменный, связанный с будет тем же самым, что и параметр замены, связанный с функцией .

Чтобы показать анализ конкретной ОПФ, выберем а (V), напри мер, в следующем виде:

где параметры. Если то отдача от масштаба не зависит от V. С другой стороны, если , то отдача от масштаба ниже а при и стремится к нулю при Подставляя из (6.56) в (6.54), получаем следующее дифференциальное урав нение:

решение которого есть где С—произвольная постоянная интегрирования. Если мы положим то получим

в качестве нашей ОПФ, где . Логарифмируя обе части (6.58) и добавляя возмущение, мы получаем

где индекс i обозначает номер наблюдения,

Делая допущение, что нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной мы можем построить функцию правдоподобия вида

где есть -мерный вектор-столбец, типовая компонента которого имеет вид есть матрица размерности типовой столбец которой задается как обозначает якобиан преобразования, переводящего величин в величин и заданного (6.59). В явном виде этот якобиан записывается как

Сначала мы покажем, как в данном случае может быть приложен для получения оценок МНП подход Бокса — Кокса. Для этого мы подставим (6.61) в (6.60) и прологарифмируем обе части:

где L обозначает логарифм функции правдоподобия, Максимизация по дает

в качестве условного максимизирующего значения при заданных и . Подстановка в (6.62) дает

Форма (6.64) с очевидностью показывает, что при любом заданном достигается максимум если минимизируется по компонентам . Минимизирующее значение при заданном представляет собой просто

и после подстановки этого значения в (6.64) мы имеем

где

причем в данной задаче . Теперь мы можем вычислить последние два члена в правой части (6.66) при различных значениях , для того чтобы получить его значение, соответствующее максимуму

. Обозначим это значение через 1). Полученное значение можно подставить в (6.66) и получить оценку МНП , обозначаемую через Затем мы можем в (6.63) положить и вычислить оценку МНП . Средние квадратичные отклонения большой выборки, соответствующие этим оценкам МНП параметров, могут быть получены из матрицы, обратной к оценке информационной матрицы.

Параметры, связанные с (6.59), были оценены с помощью подхода, в основе которого лежат МНП и перекрестные наблюдения в промышленности транспортного машиностроения США за 1957 г. (годовые данные). В этом примере оценка МНП 0, основанная на выборке составила 0,134, ее среднее квадратичное отклонение большой выборки равнялось 0,0638. Затем при вычислили значения функции отдачи от масштаба (6.56) при заданных значениях V. Было установлено, что отдача от масштаба колебалась от верхнего значения 1,45 до нижнего 0,76 в области значений V, содержавшихся в выборочных данных.

Для того чтобы осуществить байесовский анализ модели (6.59), нам требуется априорная ФПВ для параметров. Мы сделаем допущение, что при заданном априорная ФПВ для , а и а задается следующими выражениями:

причем

и

В (6.686) мы следуем аргументации Бокса и Кокса, представленной выше в связи с (6.16) и (6.17) для того, чтобы получить множитель пропорциональности, , в условной априорной ФПВ (6.68). Априорная ФПВ для при заданном а, представленная (6.68 в), есть бета-ФПВ с параметрами и , в то время как (6.68 г) и (6.68 д) представляют собой расплывчатые априорные допущения относительно а и . Маргинальную априорную ФПВ для , обозначенную через еще предстоит специфицировать. В условиях использования методов численного интегрирования может быть придана любая подходящая из многообразных форм, которыми располагает исследователь для представления имеющейся у него информации о .

В настоящем приложении мы делаем допущение, что наша априорная информация о параметрах является довольно неясной. В (6.68 в) мы полагаем маргинальную априорную ФПВ для , выбираем равномерной. Таким образом, априорная ФПВ для параметров, используемая при вычислениях, имеет вид

где J задан (6.61). В данном примере мы можем преобразовать (6.69) и получить

Объединяя (6.70) с функцией правдоподобия (6.60), мы получаем следующую апостериорную ФПВ для параметров:

где представлены соответственно в (6.65) и (6.66). Из второй строки (6.71) с очевидностью следует, что условная апостериорная ФПВ для при заданных 0 и от является многомерной нормальной ФПВ с условным математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Маргинальные апостериорные ФПВ для параметров могут быть получены следующим образом.

Если в центре интересов исследователя лежат , то можно проинтегрировать (6.71) по и получить двумерную апостериорную ФПВ для и а:

ФПВ (6.72) может быть проанализирована численными методами с целью получения маргинальных апостериорных ФПВ для а и . С другой стороны, маргинальная апостериорная ФПВ для может быть получена путем аналитического интегрирования (6.72) по что дает

Одномерные методы численного интегрирования могут быть использованы для получения нормирующей постоянной и для анализа других свойств этой маргинальной ФПВ. Поскольку, как указывалось выше, имеет размерность, обратную выпуску (см. (6.59)), следует отдавать себе отчет в том, что как оценка МНП , так и ФПВ (6.73) подвержены влияниям изменения единиц измерения выпуска. Точно так же, как отношение оценки МНП к ее среднему квадратичному отклонению свободно от влияния единиц измерения, математическое ожидание , деленное на среднее квадратичное отклонение, т. е. коэффициент вариации, не зависит от единиц измерения. С другой стороны, при заданном выпуске, скажем величина является безразмерной, и ее апостериорная ФПВ может быть получена из (6.73) путем простой замены переменной на Апостериорная ФПВ для представляет интерес потому, что, как явствует из (6.59), она представляет собой в точности тот член, который отражает отход от ПФ .

В целях получения маргинальных ФПВ для одной из компонент Р, скажем проинтегрируем (6.71) аналитически по Результатом является двумерная апостериорная ФПВ для . Потом можно воспользоваться методами двумерного интегрирования, чтобы получить маргинальную апостериорную ФПВ для Аналогичные операции дают маргинальные апостериорные ФПВ для

Апостериорная ФПВ для получается путем аналитического интегрирования (6.71) по Результатом является ФПВ для . При заданном эта ФПВ имеет вид ФПВ двумерного -распределения Стьюдента. Затем производится замена переменных, т. е. переход и интегрирование по Эта операция

(см. скан)

Рис. 6.4. Маргинальная апостериорная ФПВ для 0, построенная с помощью (6.73)

(см. скан)

Рис. 6.5. Маргинальные апостериорные ФПВ для

дает совместную апостериорную ФПВ для и а. Методы двумерного численного интегрирования могут применяться с целью построения маргинальной апостериорной ФПВ для а.

Вышеизложенные операции были использованы в приложении к перекрестным данным промышленной переписи США, относящимся к отрасли транспортного машиностроения. Данные приводятся в работе Зельнера и Реванкара [158]. Для штатов употреблялись данные о добавленной стоимости, затратах труда и затратах капитала, все данные исчислены на базе обследования каждого предприятия. На рис. 6.4 представлена апостериорная ФПВ для . Очевидно, что основная часть плотности вероятностей этой ФПВ сосредоточена в области положительных значений , что предполагает изменение отдачи от масштаба с изменениями уровня выпуска. На рис. 6.5 представлены маргинальные апостериорные ФПВ для Видно, что апостериорные ФПВ имеют моды, близкие к оценкам МНП, при условии, что в нашем анализе использованы относительно расплывчатые априорные ФПВ. Хотя мы и имеем подобный случай, однако следует отметить, что в этом случае апостериорные ФПВ отличаются от нормальной, и это указывает на невыполнение условий «большой выборки» при