Глава 9. ОДНОВРЕМЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

Так как большинство экономических явлений включает взаимодействие нескольких или многих переменных, важную проблему составляет построение и анализ моделей, которые включают такие взаимодействия или образные связи и способны «объяснить» вариацию множества переменных. Именно это обстоятельство мы имели в виду при построении модели, содержащей одновременные уравнения для изучения, скажем, отдельного конкретного рынка или национальной экономики. В первом случае модель обеспечит объяснение вариаций цены и количества товара или услуг, предлагаемых на рынке. Что касается модели национальной экономики то одной из целей построения модели является объяснение вариаций таких переменных, как национальный доход, потребление, инвестиции и уровень цен.

Здесь термин «одновременные уравнения в эконометрических моделях» служит для обозначения стохастической модели, которая позволяет исследователю сделать вероятностные утверждения относительно множества случайных переменных, так называемых внутрисистемных переменных. Модель, которую мы будем рассматривать, является линейной относительно параметров и представляет собой обобщение многомерной регрессионной модели в том смысле, что в многомерных регрессионных моделях мы имеем точно одну «зависимую» переменную в каждом уравнении, в то время как в эконометрических моделях, содержащих одновременные уравнения, в каждом уравнении мы можем иметь более чем одну зависимую переменную. Таким образом, мы сделаем допущение, что в рассматриваемом случае данные генерируются с помощью модели, имеющей вид

где является матрицей наблюдений (размерности ) за «зависимыми», или внутрисистемными, переменными,

вариации которых должны быть объяснены с помощью модели, Г — невырожденная матрица коэффициентов при внутрисистемных переменных, размерность которой равна матрица наблюдений (размерности ) за k «заранее» определенными переменными, В — матрица коэффициентов при «заранее» определенных переменных и матрица (размерности ) случайных возмущений. Переменные в матрице X, матрице заранее определенных переменных, могут включать запаздывающие значения внутрисистемных переменных и/или внесистемные переменные. В последнюю категорию мы включаем нестохастические и стохастические переменные, вариации которых определяются вне модели. По определению, мы предполагаем, что стохастические внутрисистемные переменные распределены независимо от элементов U и от параметров модели, т. е. распределение не зависит от матриц Г, В и от элементов корреляционной матрицы, элементов матрицы U. Далее в этой главе мы сделаем допущение, что элементы матрицы U имеют нулевые математические ожидания и что строки матрицы U нормально и независимо распределены с положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей 2 размерности . Это предположение независимости исключает любую форму автокорреляции.

Заметим, что если элементы матрицы Г в (9.1) являются известными величинами, то модель может быть проанализирована с помощью результатов, полученных в 8-й главе для многомерных регрессионных моделей. Рассмотрим отдельно частный случай, когда где единичная матрица размерности . Такая модель имеет форму регрессионной системы, за исключением того, что матрица X обычно содержит запаздывающие значения экзогенных переменных у. Более точно можно сказать, что в случае рассматривается система авторегрессионных уравнений. Случай не означает, что в системе отсутствует обратная связь; он означает, что любая обратная связь в системе проявляется с некоторым запаздыванием.

Другие частные случаи, которые мы будем различать ниже, заключаются в том, что: 1) матрица Г является треугольной и ковариационная матрица возмущений 2 — диагональной; 2) матрица Г — треугольная, не диагональная. Отмеченные частные случаи называются обычно «полностью рекурсивными» и «треугольными» системами. Можно также различать случаи, получающиеся комбинированием блочно-диагональной матрицы Г и ковариационной матрицы возмущений, имеющей диагональную или блочно-диагональную структуру. Если же матрица Г и ковариационная матрица возмущений не имеют специальной формы, то мы будем называть такую систему просто «взаимозависимой» моделью.

Мы обсудим вначале анализ полностью рекурсивной и треугольной моделей. После этого мы обратимся к концепции идентификации в байесовских терминах. Затем будут рассмотрены несколько простых

моделей с последующим представлением методов «ограниченной информации», байесовского анализа одного изолированного уравнения и полной системы уравнений в целом. Наконец, сообщаются результаты некоторых экспериментов, полученных методом Монте-Карло, сравниваются выборочные свойства байесовских и хорошо известных оценивателей теории выборочных исследований.