Б.5. ФПВ ОБОБЩЕННОГО -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА (ОБ t-ФПВ С)

Говорят, что элементов случайной матрицы размерности распределены по обобщенному -распределению Стьюдента, если и только если они имеют ФПВ следующего вида:

где являются ПОСМ размерности соответственно. Для удобства обозначим ФПВ в как , где 0 обозначает математическое ожидание являющееся вследствие симметрии нулевой матрицей. Рассмотрим некоторые свойства ФПВ

ФПВ может быть получена как ФПВ маргинального распределения, где является О У-ФПВ и является МН ФПВ. Пусть

где

Эти величины появляются ниже при формулировании свойств

2. Если то условная ФПВ для при фиксированном есть ОБ -ФПВ С с параметрами Математическое ожидание равно

3. Если то условная ФПВ для при фиксированном есть ОБ -ФПВ С с параметрами . Математическое ожидание ее равно

4. Если где матрицы размерности соответственно, то маргинальная ФПВ для имеет форму ОБ -ФПВ С с параметрами

5. Если где матрицы размерности соответственно, то маргинальная ФПВ для есть ОБ -ФПВ С с параметрами

6. Если в пункте есть -мерный вектор-столбец, то условная ФПВ для при фиксированном есть М -ФПВ С. Аналогично, если в пункте есть -мерный вектор-столбец, то его маргинальной ФПВ являются М -ФПВ С.

7. При имеет место

и каждая из ФПВ в правой части имеет форму М -ФПВ С.

Для доказательства свойства 1 выпишем О У-ФПВ для различных элементов G в следующем виде:

где Q является ПОСМ размерности и нормирующей постоянной, а также выпишем МН ФПВ для элементов матрицы Т размерности при заданной матрице G в виде

где Р есть ПОСМ размерности и является нормирующей постоянной. Тогда — совместная ФПВ для различных элементов G и Т является произведением т. е. имеет вид

Отметим, что из свойств О У-ФПВ следует, что

где является нормирующей постоянной О У-ФПВ, ТРТ, . Используя найдем, что интеграл от по элементам G в области равен:

Если мы введем , то убедимся, что по форме в точности совпадает с

Свойство пункта 2 может быть легко доказано, если мы заметим, что ОБ -ФПВ С может быть представлена в следующей альтернативной форме:

Тогда

где являются подматрицами Подставляя этот результат в получаем

Из очевидно, что условная ФПВ для при заданной имеет форму ОБ -ФПВ С (Б.81) с параметрами , причем условное математическое ожидание задается формулой . Далее, маргинальная ФПВ для получается из интегрированием по элементам Отметим, что может быть выражена в виде

и что при интегрировании по элементам второго сомножителя в получается число. Таким образом, маргинальная ФПВ для элементов пропорциональна первому сомножителю в правой части который имеет форму ОБ -ФПВ С с параметрами Следовательно, свойство 4 доказано.

Свойства 3 и 5 могут быть установлены тем же способом, что и свойства 2 и 4. Но удобнее при этом доказательстве использовать ФПВ в форме ОБ -ФПВ С (Б.74). Свойство 6 следует из свойства 4. Свойства 6 и 7 были рассмотрены в тексте 8-й главы.