ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Используя модель, представленную (4.1), и априорные допущения, представленные (4.3), получите условную прогнозную ФПВ для если известно, что где есть заданная величина. Как зависят математическое ожидание и дисперсия если известно, что Объясните, каким образом можно построить безусловную прогнозную ФПВ для

2. Допустим, что параметр из выражения (4.16) удовлетворяет и что его априорное математическое ожидание и дисперсия равны соответственно 0,5 и 0,04. Как можно представить эту априорную информацию с помощью бета-ФПВ?

3. Употребив априорную ФПВ из упражнения 2 наряду с другими априорными допущениями параграфа 4.1, получите совместную апостериорную ФПВ для параметров и в простой регрессионной модели (4.1).

4. Для каждого из двух множеств, данных в табл. 4.1, используя результат, полученный в упражнении 3, постройте маргинальную апостериорную ФПВ для с помощью двумерного численного интегрирования. Прокомментируйте свойства полученной апостериорной ФПВ для .

5. В 3-й главе, табл. 3.1, представлены данные Хаавельмо о доходе и инвестициях Используя эти данные, постройте апостериорную ФПВ для в условиях следующей модели:

где выборочные средние дохода и инвестиций соответственно. Используйте допущения параграфа 4.1. Чем можно объяснить тот факт, что центр апостериорной ФПВ для находится достаточно далеко от нуля?

6. В условиях упражнения 5 постройте маргинальную апостериорную ФПВ для мультипликатора инвестиций (5 и сравните ее с апостериорной ФПВ, представленной на рис. 3.1.

7. Предположим, что в (4.1 а) присутствует свободный член Объединив это уравнение с (4.16), мы получим . Существуют ли затруднения для получения оценки из этого уравнения, если Сохранятся ли эти затруднения, если мы априори ограничим область изменения неравенством или используем априорную ФПВ, приписывающую значению нулевую плотность вероятности?

8. Используя функцию правдоподобия (4.2), вычислите информационную матрицу Фишера, типовой элемент которой задается выражением — , где обозначают соответственно параметры, а математическое ожидание берется по ФПВ для у. Производя вычисления, заметьте, что

Что вы можете сказать, исследовав об информации, касающейся , когда Покажите, что если и Т велико, то часть информационной матрицы, относящейся к и , будет приближенно-диагональной. Что из этого следует?

9. Пусть в модели Получите прогнозную ФПВ для вектора будущих наблюдений, скажем если допустить, что он генерирован моделью и, где W есть матрица размерности вектор-столбец будущих наблюдений, генерированных тем же самым процессом, что и компоненты вектора и в (4.12). Примените расплывчатую априорную ФПВ для неизвестных параметров модели.

10. Получите маргинальные апостериорные ФПВ для в (4.43 а, б) с помощью расплывчатой априорно» ФПВ для параметров наряду с допущением, что Сравните эти ФПВ с таковыми, полученными в условиях тех же самых априорных допущений для параметров, но при и расплывчатой априорной ФПВ для а.

11. Дайте интерпретацию ФПВ, график которых представлен на рис. 4.5.

12. В (4.43 а, б) принято допущение о равенстве коэффициентов (тангенсов угла наклона) в обеих зависимостях. Если это допущение ставится под сомнение, то какими расчетами можно осуществить проверку?

13. Постройте соответствующую системе (4.50) — (4.51) совместную маргинальную апостериорную ФПВ для компонент вектора в условиях расплывчатой априорной ФПВ для параметров и вычислите ее математическое ожидание и ковариационную матрицу.

14. Проанализируйте систему (4.50) — (4.51) при условии, что дисперсия компонент их равна а дисперсия компонент равна где , и предполагается, что априорно распределены независимо.