9.6. АНАЛИЗ ПОЛНОЙ СИСТЕМЫ

В противоположность подходу, рассмотренному в параграфе 9.4, который привел к апостериорной ФПВ для параметров одного уравнения, с применением точно идентифицирующей априорной информации об этих параметрах, ниже мы обратим внимание на проблему вывода совместной апостериорной ФПВ для параметров, входящих во все структурные уравнения, которая будет включать в себя априорную идентифицирующую информацию относительно всех параметров всех уравнений системы

Если получена совместная апостериорная ФПВ для тех элементов матриц , на которые отсутствуют ограничения, то маргинальная ФПВ для параметров одного уравнения легко может быть получена. Поскольку эта маргинальная апостериорная ФПВ для всей системы включает больше априорной и выборочной информации, чем соответствующая ФПВ для параметров, полученная при оценивании уравнений «по одному», то в общем можно утверждать, что в первом случае дисперсия будет меньше, чем в случае соответствующей апостериорной ФПВ для параметров, полученной в подходе, использующем оценивание «по одному»

Если идентифицирующая информация имеет форму точных нулевых ограничений на элементы в и если априорная ФПВ для оставшихся параметров не является вырожденной, то для большой выборки функция правдоподобия будет аппроксимировать апостериорную ФПВ, как это уже было объяснено во 2-й главе. Поскольку функция правдоподобия предполагает нормальную форму в случае большой выборки, то апостериорная ФПВ для параметров, на которые не наложены ограничения, при выборке большого объема является многомерной нормальной ФПВ с вектором математических ожиданий, имеющим своими компонентами оценки МНП с полной информацией, а ковариационная матрица равна матрице, обратной к информационной матрице Фишера, вычисленной для оценок МНП с полной информацией. Учитывая, что вычислительные процедуры МНП с полной информацией широко представлены в литературе, мы не будем их рассматривать в настоящей работе. Однако необходимо подчеркнуть, что эта аппроксимация апостериорной ФПВ является допустимой только для случая большой выборки, и мало что можно сказать о том, каков должен быть объем выборки для того, чтобы в рассматриваемом случае нормальная аппроксимация давала хорошие результаты.

Другая интересная аппроксимация математического ожидания апостериорной ФПВ полной системы в случае большой выборки может быть получена при записи зависимости (9.67) для каждого уравнения

модели, т. е.

или

где при есть систематическая часть уравнения в приведенной форме для причем есть систематическая часть уравнений приведенной формы для матрицы наблюдений за внутрисистемными переменными, входящими в уравнение с ненулевыми коэффициентами; — матрица наблюдений за заранее определенными переменными, входящими в уравнение с ненулевыми коэффициентами; -_вектор коэффициентов уравнения. В (9.80 б) представляет собой блочно-диагональную матрицу в правой части (9.80 а) и Тогда при условии, что Н является квадратной невырожденной матрицей, мы будем иметь или

если матрица Н выбрана так, что . Поскольку (9.81) является алгебраическим соотношением, связывающим компоненты с элементами П матрицы приведенной формы и с элементами ковариационной матрицы возмущений уравнений в структурной форме, мы можем аппроксимировать апостериорное математическое ожидание ) (в предположении, что оно существует), разлагая правую часть (9.81) в окрестности состоятельных выборочных оценок ; например, в окрестности соответственно 1. Тогда член нулевого порядка в разложении даст следующую аппроксимацию:

Нужно отметить, что правая часть в (9.82) имеет форму оценки ЗМНК. Ниже мы покажем, что центр главного нормального члена в асимптотическом разложении, аппроксимирующий апостериорную ФПВ, расположен в (9.82), а его ковариационная матрица равна Необходимо, однако, помнить, что эти аппроксимации получены в предположении наличия больших выборок, а вопрос об их пригодности для данной модели в случае, когда объем выборки недостаточно велик, не разработан.

Рассмотрим теперь проблему вывода апостериорной ФПВ для параметров модели При условии, что строки U распределены нормально и независимо с нулевыми математическими ожиданиями и положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности , функция правдоподобия будет иметь вид

где символ D означает известные данные. Априорная ФПВ для параметров имеет вид

В (9.84) мы сделали допущение, что элементы 2 являются априорно независимыми от элементов матриц Г и В, и применили расплывчатую априорную ФПВ в форме, использованной и исследованной в 8-й главе. Сделаем допущение, что априорная ФПВ для , включает идентифицирующую априорную информацию, которая, как указано выше, должна обеспечить оценивание параметров модели. Тогда апостериорная ФПВ определяется следующим образом:

где Р обозначает априорные допущения; . Интегрируя (9.85) по элементам мы находим, что маргинальная апостериорная ФПВ для имеет вид

Из вида (9.86) можно заметить, что если условная априорная ФПВ для матрицы В при заданной матрице , то условная апостериорная ФПВ для элементов В при заданной матрице Г является обобщенной -ФПВ Стьюдента с вектором математических ожиданий , который, как это и можно было ожидать в силу того, что при заданной Г имеет форму,

логичную случаю многомерной регрессионной модели. Дальнейший анализ (9.86) для конкретных видов кажется вполне возможным, но к настоящему моменту времени эта работа еще не выполнена.

Если мы воспользуемся соотношением , то правую сторону в (9.85) можно представить в терминах следующим образом:

поскольку , где . Далее сделаем допущение, что априорная ФПВ для , включает априорную идентифицирующую информацию о равенстве нулю некоторых элементов матриц Г, В. Если мы обозначим ненулевые элементы матрицы , отличные от элементов матрицы Г, которые в результате нормирования сделаны равными единице, через , и примем, что (б) есть априорная ФПВ, то апостериорная ФПВ может быть записана в виде

где представляет с учетом идентифицирующих и нормирующих условий.

Рассмотрим асимптотическое разложение (9.88). Последний множитель в правой части (9.88) можно представить в более удобном виде. Рассмотрим

где являются состоятельными оценками соответственно; обе с элементами порядка . Тогда

где . Подставляя (9.90) во второй экспоненциальный сомножитель в (9.88), мы будем иметь

где . Далее мы, выделяя полный квадрат относительно в последней строчке (9.91) и представляя как , получаем, что (9.91) пропорционально выражению

где . Используя (9.92), мы найдем, что апостериорная ФПВ в (9.88) принимает вид

где

Если в (9.93) оставить только главный член, то будем иметь

Мы убеждаемся в (9.94), что независимо распределены, причем ФПВ для параметров матрицы есть обратная ФПВ Уишарта, а ФПВ для элементов 8 — ФПВ многомерного нормативного распределения с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей , которые аналогичны вектору оценок, полученному 3МНК и соответствующей оценке ковариационной матрицы возмущений для случая большой выборки.

Если, например, (9.94) используется в качестве априорной ФПВ при анализе другого массива данных, которые удовлетворяют условию и при условии, что строк матрицы независимо и нормально распределены с общим нулевым вектором математических ожиданий и положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размера , то с учетом точности аппроксимации в (9.94) апостериорная ФПВ определяется следующим образом:

где обозначает новые данные, причем

Выборочные величины строятся на основании новых данных и определяются совершенно аналогично .

Из (9.95) и (9.96) можно видеть, что с учетом точности аппроксимации 8, апостериорное математическое ожидание 8 в (9.96) является матричной средней взвешенной двух выборочных величин с соответствующими матрицами точности в качестве весов. Таким образом, в (9.97) является апостериорной ковариационной матрицей , если мы ограничиваемся рассмотрением главного члена в разложении апостериорной ФПВ.

В случае, если аппроксимация с помощью только главного члена в разложении (9.93) не может считаться удовлетворительной, можно указать на некоторые возможности использования других членов разложения (9.93). Предположим, что априорная ФПВ для в (9.93), (8), имеет вид

где является априорным вектором математических ожиданий и является априорной ковариационной матрицей. Подставляя это выражение в (9.93) и выделяя полный квадрат относительно , в экспоненте мы получаем

где . Теперь для вычисления нормирующей постоянной в (9.98) мы можем проинтегрировать по , принимая во внимание члены, включающие степени . Это интегрирование может рассматриваться как вычисление математического ожидания и его степеней при условии, что в качестве ФПВ задана обратная многомерная ФПВ Уишарта для , которая представлена в (9.98) в качестве главного члена разложения. После осуществления вышеуказанного интегрирования мы будем иметь нормирующую постоянную для (9.98) и сможем использовать эту нормированную ФПВ для получения аппроксимации апостериорной ФПВ лучшей, чем в случае, если бы мы пользовались только главным членом разложения.