А.3. ФПВ ГАММА- И «хи квадрат»-РАСПРЕДЕЛЕНИЙ (ГАММА-ФПВ И «хи квадрат»-ФПВ)

Как это следует из названия, гамма-ФПВ тесно связана с гамма-функцией. Случайная переменная имеет гамма-распределение, если и только если ее ФПВ имеет вид

где являются строго положительными параметрами; т. е. . Из видно, что у является параметром масштаба. Если а 1, то ФПВ имеет единственную моду в точке Для малых значений параметра а ФПВ имеет длинный правый хвост. С возрастанием а для любого данного значения параметра у ФПВ становится более симметричной и приближается к нормальной ФПВ. ФПВ гамма-распределения может быть представлена в стандартизованной форме с помощью замены переменной . В результате получим следующий результат:

Из определения гамма-функции очевидно, что является собственной нормированной ФПВ и что моменты всех порядков существуют. Моменты относительно нуля, обозначаемые через равны:

Из для первых четырех моментов получим

Отсюда видно, что a является математическим ожиданием гамма-ФПВ и (это несколько удивительно) также ее дисперсией. Далее, для третьего и четвертого моментов относительно математического ожидания получим . Объединяя полученные результаты, имеем

При условии, что скошенность всегда является положительной величиной. Поскольку мода находится в точке при , мера скошенности Пирсона равна мода

. Ясно, что с возрастанием а эта мера скошенности стремится к нулю. Что касается эксцессов то они также стремятся к нулю с возрастанием а. Тот факт, что при связан, конечно, с приближением гамма-ФПВ к нормальной ФПВ распределения при а является частным случаем гамма-ФПВ для случая Таким образом, -ФПВ имеет следующую форму:

где . Параметр v обычно называют «числом степеней свободы». Ввиду того что (А.35) является частным случаем стандартизованная форма получается из заменой а на Аналогично моменты стандартизованной формы получаются непосредственно из заменой а на . Так как стандартизованная переменная z связана с соотношением моменты нестандартизованной могут быть легко получены из моментов стандартизованной -ФПВ. Для удобства читателя приведем моменты, связанные с

Очень важное свойство -ФПВ формулируется следующим образом. Пусть есть сумма квадратов независимых стандартизованных нормальных случайных переменных. Тогда z имеет ФПВ в форме числом степеней свободы.