ПРИЛОЖЕНИЕ А. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ВАЖНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ФПВ

Здесь мы получим свойства нескольких важных одномерных ФПВ которые использовались в различных частях книги.

А.1. ОДНОМЕРНАЯ НОРМАЛЬНАЯ (ОН) ФПВ

Случайная переменная является нормально распределенной тогда и только тогда, когда ее ФПВ имеет следующий вид:

Эта ФПВ имеет два параметра: параметр прложения и параметр масштаба Она имеет также единственную моду в точке и является симметричной относительно этой точки. Таким образом, 0 является медианой и математическим ожиданием ОН ФПВ. При условии симметрии относительно точки моменты нечетного порядка относительно 0 все равны нулю, т. е.

например, или

Моменты четного порядка относительно математического ожидания равны:

где обозначает гамма-функцию с аргументом этой хорошо известной и важной функции см. в

Далее мы замечаем, что, вводя переменную мы можем представить в так называемой стандартизованной нормальной форме:

Моменты этой ФПВ легко получаются из выражений для моментов, приведенных в

Доказательства свойств ФПВ. Во-первых, мы установили, что является нормированной ФПВ, т. е. что

Заметим, что при всех таких, что . Сделаем замену переменной для получения и отметим, что Далее, вводя в рассмотрение и замечая, что или получим

Интеграл в правой части является гамма-функцией с аргументом 1/2. Таким образом, гамма-функция, обозначаемая через , и определяется как

и, следовательно, правая часть равна Из математического анализа известно, что , и правая часть действительно равна единице.

Во-вторых, мы покажем, что моменты нечетного порядка величины все равны нулю, как пока просто утверждается в . Последнее равносильно доказательству того, что так как Получаем

Поскольку при является отрицательным и как это следует из симметричности формы , то первый интеграл в правой части равен по абсолютной величине второму и имеет обратный знак. Таким образом, их сумма равна нулю, что и нужно было показать.

В-третьих, мы получим выражение для четных моментов, приведенных в Вначале мы получим моменты четного порядка при ФПВ приведенной в а затем, используя полученный результат, получим четные моменты для случая ФПВ, приведенной в . Пусть и . Тогда

где является гамма-функцией, определенной в с аргументом Ввиду того что моменты четного порядка, обозначенные через в точности равны умноженному на выражение в Следовательно, результат, приведенный в можно считать доказанным.

Для удобства мы приведем явные выражения для второго и четвертого моментов

и

Явные выражения для четных моментов более высоких порядков могут быть получены аналогичным способом.

Что касается мер, отличных от моментов и характеризующих свойства одномерных ФПВ, то мы рассмотрим меры скошенности и островершинности. Меры скошенности, т. е. отклонения от симметрии, включают меру К. Пирсона, приведенную в и две другие меры:

и

Разумеется, что для симметричной ОН ФПВ все эти меры имеют нулевое значение. Что касается островершинности, то часто употребляется мера, называемая «эксцессом»:

где . Мера принимает нулевое значение для ОН ФПВ. При ФПВ называют мезокуртической, при ФПВ называют лентокуртической, а при ФПВ называется платокуртической. Как уже отмечалось, принято думать, что лентокуртическая кривая является более островершинной, чем кривая нормального распределения. Это, однако, необязательно: хотя эти понятия и являются полезными, лучше их рассматривать не как описывающие форму кривой плотности распределения, а как определения, приписывающие определенный знак