3.2.2. Апостериорные ФПВ для параметров в условиях расплывчатых априорных ФПВ

При выборе априорных ФПВ для анализа множественной регрессионной модели мы примем, что наша априорная информация является неясной, или расплывчатой, и представим ее через независимое и равномерное распределение компонент а, т. е.

Объединяя (3.27) и (3.30), получим совместную апостериорную ФПВ для параметров в виде

Из (3.31) непосредственно следует, что условная апостериорная ФПВ для при данном а (т. е. ) есть -мерная нормальная ФПВ с математическим ожиданием и ковариационной матрицей Хотя этот факт интересен и полезен для некоторых производных результатов, редко известен на практике, вследствие чего вычисление условной ковариационной матрицы невозможно. Для того чтобы избавиться от вызывающего затруднения параметра а, мы интегрируем (3.31) по а и получаем следующую маргинальную апостериорную ФПВ для компонент :

т. е. ФПВ многомерного -распределения Стьюдента. Эта апостериорная ФПВ служит отправной точкой для выводов относительно . Но прежде чем перейти к ее дальнейшему анализу, мы заметим, что маргинальная апостериорная ФПВ для о может быть получена из (3.31) путем интегрирования по компонентам , т. е.

или обратной гамма-ФПВ, точно такого же вида, как (3.15), за исключением того, что здесь . Путем простой замены переменной можно перейти к апостериорной ФПВ для или для если исследователь этого желает.

Теперь мы возвращаемся к анализу (3.32) маргинальной апостериорной ФПВ для . Во-первых, мы постараемся получить маргинальную апостериорную ФПВ для отдельной компоненты вектора

например Это можно сделать двумя путями, а именно: интегрируя (3.31) по и затем по о или интегрируя (3.32) по . Здесь мы выберем второй путь. Для удобства перепишем (3.32) следующим образом:

где Пусть есть скаляр, Тогда

где матрица Н представлена в блочном виде в соответствии с блочным представлением вектора , т. е.

где скаляр; вектор-строка; вектор-столбец, а матрица размером . Выделим полный квадрат относительно 62 в (3.35) следующим образом:

Затем подставим (3.36) в (3.34) и получим

где верхний индекс (1,1) обозначает элемент матрицы, обратной к Н. Теперь можно интегрировать (3.37) по пользуясь свойствамимногомерной -ФПВ Стьюдента. Получаем 1

Таким образом, имеем

где есть элемент (1,1) матрицы Ввиду того что выбор компоненты вектора , которую мы обозначим через остается открытым, выражение для i-й компоненты вектора будет иметь вид

Этот результат дает возможность делать выводы относительно пользуясь таблицами -распределений для степеней свободы. Заметим также, что простая замена переменной в (3.38), а именно дает

и, таким образом, имеет

Если мы заинтересованы в маргинальной апостериорной ФПВ некоторого подмножества компонент , то можем представить в блочном виде и записать квадратичную форму из (3.34) в следующем виде:

где блочное представление Н соответствует блочному представлению для . Выделяя полный квадрат по в (3.42), получим

после подстановки этого выражения в (3.34) получаем

Из (3.43), кроме всего прочего, очевидно, что условная ФПВ для при заданной , есть многомерная -ФПВ Стьюдента с условным математическим ожиданием, равным — Следовательно, поскольку условное математическое ожидание вектора при заданном есть

Чтобы получить маргинальную апостериорную ФПВ для , нужно проинтегрировать (3.43) по . Это можно сделать, опираясь на свойства многомерной -ФПВ Стьюдента. В результате получаем

где есть число компонент 62. Заметим, что так что показатель в (3.44) равен Таким образом, из (3.44) следует, что маргинальная апостериорная ФПВ для

является многомерной -ФПВ Стьюдента с математическим ожиданием откуда

причем надо иметь в виду, что матрица суть подматрицы матрицы

Далее, используя априорные допущения (3.30), мы вернемся к задаче вывода апостериорной ФПВ для линейной комбинации компонент . Например, где а есть скалярный параметр, а - -мерный вектор-строка фиксированных чисел. Если, скажем, компоненты суть параметры производственной функции Кобба — Дугласа, исследователь может интересоваться параметром который отражает «отдачу от масштаба». В этом случае . В других случаях интерес могут представлять другие линейные комбинации компонент . Перед тем как получить апостериорную ФПВ для мы заметим, что совместная апостериорная ФПВ для и а может быть записана в виде

где есть многомерная нормальная ФПВ.

Таким образом, при условии заданного о параметр нормально распределен, поскольку он является линейной комбинацией нормально распределенных переменных, компонент Р; математическое ожидание а есть а условная апостериорная дисперсия

ввиду того что условная ковариационная матрица при заданном а есть . Таким образом, маргинальная апостериорная ФПВ а может быть получена путем интегрирования по а. Положим Тогда мы имеем:

Очевидно, что апостериорная ФПВ для а является одномерной -ФПВ Стьюдента, т. е.

где . Этот результат может быть использован для получения выводов относительно