ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Предположим, что мы имеем 10 наблюдений, полученных путем независимой выборки из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением Пусть выборочная средняя равна 1,52. Вычислите апостериорные шансы, соотносящие гипотезы если каждая из априорных вероятностей этих гипотез равна 1/2.

2. В связи с гипотезами из упражнения 1 построим следующую структуру потерь:

Вычислите и сравните ожидаемые потери, связанные с действиями «принять » и «принять », используя апостериорные вероятности, полученные из результатов упражнения 1.

3. Пусть мы располагаем 15 наблюдениями, полученными путем независимой выборки из нормальной генеральной совокупности с и неизвестной дисперсией причем

Получите апостериорные шансы, соотносящие гипотезы используя равные априорные вероятности для обеих гипотез.

4. Если в упражнении 3 мы рассмотрим третью гипотезу и придадим равные априорные вероятности всем гипотезам то изменятся ли апостериорные шансы, соотносящие по сравнению с результатом, полученным в упражнении 3? Сравните апостериорные вероятности, относящиеся к с аналогичными вероятностями, полученными в упражнении 3. Каково влияние увеличения числа рассматриваемых взаимно исключающих гипотез на значение апостериорной вероятности одной из них, если заданы некоторый конкретный массив данных и равные априорные вероятности?

5. Покажите, как могут быть вычислены апостериорные шансы для гипотез в упражнении 1, если значение среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности а неизвестно и используется следующая априорная ФПВ:

где являются положительными параметрами, величина которых задается исследователем, и

6. Исследуйте представленный в параграфе 10.3 парадокс Линдли при условии, что уровень значимости при подходе с позиций выборочных исследований к проверке гипотез возрастает с ростом . Почему представляется желательным изменить уровень значимости с возрастанием п?

7. Пусть мы располагаем и независимыми наблюдениями полученными из нормальной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением Рассмотрим гипотезы . Если при мы должны использовать расплывчатую априорную ФПВ то каковы будут апостериорные

шансы, соотносящие эти две гипотезы? В каком смысле полученный результат согласуется с тем фактом, что нулевое значение оценки МНП параметра будет иметь нулевую вероятность?

8. Используйте подход Линдли в случае, когда априорная информация является неясной или расплывчатой для проверки гипотезы , где I — -мерный вектор-столбец заданных констант; с — заданная скалярная величина; —-мерный вектор-столбец параметров коэффициентов регрессии стандартной линейной нормальной регрессионной модели и.

9. В связи с (10.40) было отмечено, что апостериорные шансы, соотносящие регрессионные модели в (10.35) и (10.36), могут быть представлены в виде

При условии, что рассматриваются только модели и получите для них апостериорные вероятности, пользуясь выражением для

10. Объясните, каким образом приведенные выше апостериорные вероятности для в упражнении 9 могут быть применены для получения средней взвешенной математического ожидания будущих наблюдений, генерируемых в (10.35) с вероятностью, равной апостериорной вероятности для или с вероятностью, равной апостериорной вероятности

11. Выразите в (10.51) в терминах — обычных коэффициентов множественной детерминации — и посмотрите, как зависит от этих величин, учитывая, при этом, что является относительной мерой степени уверенности. Далее, в условиях допущения, что множество рассматриваемых моделей включает в себя только модели получите апостериорные вероятности для в терминах и посмотрите, как они зависят от последних.

12. Объясните, как информативные априорные ФПВ для в виде обратной гамма-ФПВ могут быть включены в анализ апостериорных шансов, представленных в (10.56).