ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Рассмотрите простую регрессионную модель , и, кроме того, После того как выдвинуто достаточно допущений для получения апостериорной ФПВ для и , постройте апостериорную ФПВ для эластичности от а именно

задано, что .

2. Если вид апостериорной ФПВ для и соответствует двумерному -распределению Стьюдента, то будет ли существовать апостериорное математическое ожидание в упражнении 1? В условиях, когда вероятность неположительности знаменателя с возрастанием становится очень малой, дайте обоснование аппроксимации при больших , где

3. Пусть наблюдение удовлетворяет

причем сделаны допущения, что нормально и независимо распределены, каждая с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной есть непрерывная, дважды дифференцируемая функция от независимой переменной и скалярного параметра а. Пусть мы разложили в ряд Тейлора в окрестности а (т. е. оценки МНП а), сохранили только линейные члены и записали

Попытайтесь объяснить, как линейная байесовская теория может быть приложена для анализа этого линеаризованного уравнения. Прокомментируйте вид, математическое ожидание и дисперсию апостериорной ФПВ для если задана расплывчатая априорная ФПВ для .

4. В упражнении 3 была введена аппроксимация для нелинейного уравнения. Прокомментируйте качество аппроксимации с возрастанием и увеличением островершинности функции правдоподобия. В частности, рассмотрите поведение члена второго порядка ряда Тейлора при возрастании п. В случае малых можно ли пользоваться этой аппроксимацией для вместе с информативной априорной ФПВ для а?

5. Сделайте обобщение соображений из упражнений 3 и 4 для случая, в котором а представляет не скалярный параметр, а вектор параметров.

6. Пусть дана зависимость причем нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной являются заданными значениями независимой переменной. Выведите выражения для математического ожидания и медианы ФПВ для при заданных и объясните, как получить апостериорные ФПВ этих двух мер центральной тенденции ФПВ для

Пусть дана дискретная случайная переменная которая принимает значение 1 с вероятностью и значение 0 с вероятностью Допустим также, что в независимых испытаниях мы наблюдали раз, тогда функция правдоподобия задается выражением

Далее предположим, что удовлетворяет , где являются параметрами, а есть неотрицательное значение, задаваемое наблюдаемой «стимулирующей» переменной. (а) Обсудите свойства введенной выше функции, построив геометрическое место ; (б) объясните, какможет быть приложен метод поиска, реализованный на ЭВМ, для получения оценок МНП постройте априорную ФПВ для и укажите, каким образом можно применить методы двумерного численного интегрирования для получения апостериорных выводов.

8. Пусть в упражнении 7 принята следующая альтернатива: в качестве вида функциональной зависимости для , выбрана логистическая зависимость , где есть заданная наблюдаемая переменная, существующая в области от до Исследуйте математические свойства логистической функции, в частности зависимость формы ее кривой от знака представьте процедуру вычисления оценок МНП при заданной информации выборки; (в) предложите некоторое конкретное приложение и применительно к нему, используя вышеозначенную модель, сформулируйте априорные ФПВ для и укажите, как должен вестись байесовский анализ.

9. Проделайте упражнение 8 в условиях допущения, что

где параметры, значения которых неизвестны. (В пункте (а) исследуйте зависимость формы кривой функции нормального распределения, представленной выше, от символа .)

10. Рассмотрите следующую зависимость Энгеля:

где есть расход; доход; параметры, значения которых неизвестны; — возмущение, а индекс i обозначает, что переменные относятся к домашнему хозяйству. Сделайте допущения, что являются независимыми переменными, распределены нормально и независимо, каждое с нулевым математическим ожиданием и дисперсией значение которой неизвестно. Постройте удобный алгоритм для вычисления оценок МНП а,

11. Пусть в условиях упражнения 10 задана априорная ФПВ для , скажем причем есть априорная ФПВ для Затем объясните, как вычислить апостериорное математическое ожидание и дисперсию если задано, что где известное значение.

12. Пусть в упражнении 11 сделано допущение, что Чему равны моды совместной апостериорной ФПВ для Прокомментируйте допущение и предложите альтернативу, более согласную с прежним опытом анализа кривой Энгеля.

13. Пусть где , что предполагает причем являются заданными независимыми переменными, неизвестными параметрами, а случайными возмущениями. Последние, по допущению, нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и неизвестной общей дисперсией, равной Получите оценки МНП и прокомментируйте выборочные свойства

оценивателя МНП а. В частности, существует ли его математическое ожидание? Вычислите информационную матрицу Фишера для параметров а, и прокомментируйте ее свойства.

14. Задано, что получите в условиях упражнения 13 апостериорную ФПВ для с использованием следующей априорной ФПВ: где есть собственная априорная ФПВ для . К чему стремится математическое ожидание апостериорной ФПВ для при возрастании если задано, что а и дана информация выборки?

15. Объясните, как модель из упражнения 13 может быть проанализирована с помощью следующей информативной априорной ФПВ: где суть бета-ФПВ, а обратная гамма-ФПВ.