9.5. БАЙЕСОВСКИЙ АНАЛИЗ В УСЛОВИЯХ «ОГРАНИЧЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ»

Рассмотрим одно уравнение, скажем первое, принадлежащее к модели, состоящей из т. структурных уравнений, иначе говоря, рассмотрим уравнение

где есть -мерный вектор-столбец наблюдений за внутрисистемной переменной, коэффициент при которой приравнен единице в результате нормирования; является матрицей размерности наблюдений за другими внутрисистемными переменными, входящими в первое уравнение с отличными от нуля коэффициентами; является матрицей размерности наблюдений за заранее определенными переменными, входящими в первое уравнение с отличными от нуля коэффициентами; и являются соответственно и -мерными вектор-столбцами коэффициентов, есть -мерный вектор-столбец неавтокоррелированных нормальных возмущений с нулевыми математическими ожиданиями и общей дисперсией, равной . Мы делаем допущение, что параметры (9.61) идентифицируются посредством наложения ограничений

Приведенная форма уравнений для имеет вид

где является матрицей размерности и ранга k наблюдений за k заранее определенными переменными, причем есть матрица размерности наблюдений за заранее определенными переменными, входящими в (9.61), а есть матрица размерности наблюдений за заранее определенными переменными, априори исключенными из (9.61). Матрица коэффициентов приведенной формы в (9.62) подразделена на подматрицы: есть -мерный вектор-столбец; вектор-столбец; является матрицей размерности матрицей размерности матрица размерности матрицей возмущений приведенной формы системы, где есть -мерный вектор-столбец и матрица размерности

Домножая обе части (9.62) справа на и приравнивая коэффициенты полученного уравнения к соответствующим коэффициентам из (9.61), мы получаем

и

где априорно предполагается равным нулю. Используя (9.63) и (9.64), мы можем записать уравнения приведенной формы (9.62) следующим образом

где . Мы преобразовали систему уравнений приведенной формы (9.62) к виду (9.65) для того, чтобы показать, что при известной скажем имеет форму многомерной регрессионной модели. Если принята расплывчатая априорная ФПВ для компонент общая дисперсия элементов по допущению нормально и независимо распределенных с нулевыми математическими ожиданиями, то условная апостериорная ФПВ для является многомерной -ФПВ Стьюдента с вектором математических ожиданий, определяемым по формуле

что в точности соответствует оценивателю . Однако необходимо подчеркнуть, что является условным апостериорным математическим ожиданием, определенным при заданной матрице и может оказаться плохой аппроксимацией безусловного апостериорного математического ожидания в условиях малой выборки. Интересно

также отметить, что поскольку где можно (9.65а) представить в виде

Домножая обе части (9.67) слева на и разрешая относительно J, получим

т. е. выражение для компонент через параметры приведенной формы системы. Если мы далее разложим правую часть (9.68) в окрестности математических ожиданий ФПВ для параметров приведенной формы при использовании расплывчатой ФПВ в связи с системой (9.62), то получим апостериорное математическое ожидание допуская его существование в следующем виде:

Член нулевого порядка в этом разложении и является оценкой 2МНК. Неизвестно, достаточно ли хорошо оценка 2МНК аппроксимирует апостериорное математическое ожидание в случае, когда априорная информация относительно является расплывчатой, однако можно высказать предположение, что при отбрасывании остатка в (9.69) мы получаем плохую аппроксимацию при малой выборке.

В целях построения в явном виде апостериорной ФПВ для параметров в (9.61) мы используем подход аналогичный в некоторых отношениях подходу, развитому Дрезом. Объединяя (9.61) и часть (9.62), относящуюся к получаем

где мы уже включили априорную информацию о том, что часть внутрисистемных переменных не входит в (9.61) и введем позднее, что . Заметим, что матрица возмущений в (9.70) равна:

поскольку . При условии, что строки матрицы нормально и независимо распределены с нулевыми векторами математических ожиданий и положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности ковариационная матрица каждой строки есть , где — треугольная матрица, стоящая в правой части (9.71). Тогда функция правдоподобия системы (9.70) есть 2

где

причем априорная информация употреблялась в априорной ФПВ. Отметим, что при заданном функция правдоподобия в (9.72) имеет форму, встречавшуюся уже нам ранее в ходе анализа многомерной регрессионной модели. Априорная ФПВ, которую мы будем применять, имеет вид

где . В (9.73) мы принимаем допущение, что распределены независимо. Делается также допущение, что элементы распределены равномерно и непрерывно и что для мы используем расплывчатую априорную ФПВ в форме, рассмотренной в 8-й главе. Тогда апостериорная ФПВ имеет вид

где D обозначает известные данные и Р — априорные допущения.

Анализируя (9.74), проинтегрируем вначале по элементам , а затем по элементам матрицы являющейся подматрицей П. От полученной таким образом ФПВ перейдем затем к условной для того, чтобы отразить идентифицирующую априорную информацию Интегрируя (9.74) по элементам , мы получим

где

Ввиду того что (9.75) имеет форму обобщенного -распределения Стьюдента (см. приложение Б), мы можем применить этот результат для

интегрирования (9.75) по элементам подматрицы матрицы П. В результате имеем

В (9.76) и есть элемент (1.1) матрицы А, имеющий вид

Для квадратичной формы относительно компонент вектора в (9.76) имеет место следующий результат:

где является оценкой 2МНК, приведенной в (9.66). Таким образом, ФПВ (9.76) может быть выражена в следующем виде:

где

Если в (9.78) мы возьмем , то апостериорная ФПВ для вектора была бы многомерной -ФПВ Стьюдента

с центром в если бы элемент не зависел от вектора . Однако, поскольку условная апостериорная ФПВ для при заданном является многомерной -ФПВ Стьюдента, (9.78) может быть проинтегрировано по компонентам вектора в результате чего получается маргинальная апостериорная ФПВ для вектора представимая в виде

Если, как это часто бывает в приложениях, y имеет небольшое число компонент, скажем одна или две, то для оценки постоянных нормирования и анализа других свойств (9.79) могут быть применены методы численного интегрирования. Что же касается апостериорной ФПВ для компоненты скажем , то (9.78) должно быть проинтегрировано аналитически по компонентам отличным от и полученная совместная апостериорная ФПВ для вектора и компоненты легко может быть проанализирована с помощью численных методов интегрирования при условии, что размерность достаточно мала 2.

Если априорная ФПВ в (9.78) предполагает многомерную нормальную ФПВ для компонент , то апостериорная ФПВ имеет нормальную форму, встречавшуюся ранее в 4-й главе, за исключением зависимости от . Методы асимптотического разложения, обсуждаемые в приложении 4.1 совместно с разложением по отрицательным степеням могут рассматриваться в качестве полезного подхода при аппроксимации апостериорной ФПВ. Однако детали этого подхода требуют еще дополнительной проработки.