7.6. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Имеется много обобщений простых моделей распределенного запаздывания. Здесь мы займемся только двумя из них. Первое исходит из допущения, что данные генерируются следующим образом:

или

где есть -мерный вектор-строка; есть -мерный вектор-строка неизвестных коэффициентов, есть случайное возмущение. В (7.79 а, б) мы приняли допущение, что на оказывают влияние k переменных, каждая со своим собственным коэффициентом, но с общей структурой запаздывания и общим параметром, характеризующим эту структуру. Вычитая из обеих частей (7.796), мы получаем

Здесь мы примем допущение, что возмущение удовлетворяет (7.56). Объединяя (7.56) и (7.80), мы получаем

Пусть мы располагаем наблюдениями, удовлетворяет стандартным допущениям и наши априорные допущения о параметрах имеют вид

где та есть дисперсия Апостериорная ФПВ для параметров представляется в виде

где

причем

Из вида выражения (7.83) с очевидностью следует, что компоненты вектора могут быть исключены аналитическим интегрированием. Интегрирование по дает следующий результат:

Затем, пользуясь свойствами многомерной -ФПВ Стьюдента, мы можем проинтегрировать по , что дает

где . Двумерная апостериорная ФПВ (7.86) может быть проанализирована численными методами в целях вычисления ее нормирующей постоянной, получения совместных выводов относительно , а также маргинальных апостериорных ФПВ для этих параметров. Что же касается отдельной компоненты , скажем то апостериорная ФПВ для нее может быть получена из (7.85) путем интегрирования по в целях получения трехмерной ФПВ которая может быть проанализирована численными методами для того, чтобы получить маргинальную ФПВ для . В качестве второго обобщения модели мы рассмотрим

где за исключением добавления члена модель остается прежней. в (7.87) есть -мерный вектор-строка наблюдений за m заданными независимыми переменными, a v - m-мерный вектор-строка коэффициентов.

Вычитание из обеих частей (7.87) дает

или

где есть матрица наблюдений за заданными независимыми переменными размерности Если мы сделаем допущение, что распределены нормально и независимо с нулевыми математическими ожиданиями и общей дисперсией, равной и применим наш анализ условно, при условии заданного то функция правдоподобия будет иметь вид

где есть ковариационная матрица для и размерности , причем явный вид G задается (7.45). При использовании расплывчатой априорной ФПВ

совместная априорная ФПВ есть

где мы положили . Очевидно, что (7.91) аналогично выражению (7.48). Его можно проанализировать следующим образом: сначала проинтегрируем (7.91) по а и получим

Заметим, что при заданном условная апостериорная ФПВ для является многомерной -ФПВ Стьюдента. Этот факт может быть использован при определении чувствительности выводов относительно Р к допущениям о К.

В целях построения маргинальной апостериорной ФПВ для Р мы проинтегрируем (7.92) по Р и получим

где

т. е. является функцией от X. Одномерная ФПВ (7.93) может быть проанализирована численными методами. Наконец, если интерес исследователя концентрируется на некоторой отдельной компоненте вектора Р, скажем то остальные компоненты могут быть исключены путем интегрирования, которое осуществляется с использованием свойств многомерной -ФПВ Стьюдента и дает двумерную апостериорную ФПВ Последняя может быть проанализирована численными методами.

В заключение настоящей главы важно подчеркнуть, что приложение общих принципов байесовского анализа к исследованию моделей временных рядов не требует специальных модификаций. Необходимо лишь, разумеется, тщательно подходить к формализации моделей временных рядов в целях адекватного представления экономических явлений, например к выбору адекватной аппроксимации структур запаздывания, к использованию подходящих допущений относительно начальных условий и к употреблению подходящих функциональных зависимостей в спецификации. Если такое адекватное представление получено и может быть построена функция правдоподобия, то, как уже указывалось, анализ может осуществляться в обычных рамках байесовских методов. Точечные оценки, доверительные интервалы и т. п. могут быть получены на основе принципов, изложенных во 2-й главе.