2.13. ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫШЕИЗЛОЖЕННЫХ ПРИНЦИПОВ К АНАЛИЗУ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим исходы независимых испытаний, каждый из которых совпадает с одним из двух несовместных событий А и В. Эти независимых испытаний могут заключаться, например, в подбрасывании монеты. Исходом каждого испытания может быть выпадение либо решетки (А), либо герба (В). Пусть 9 обозначает вероятность события А, по

предположению, одинаковую для всех испытаний. Тогда есть вероятность исхода В, и вероятность наблюдения исходов Лип исходов В в серии независимых испытаний задается дискретной биномиальной ФПВ

где

Выражение (2.51), рассматриваемое как функция от неизвестного параметра есть функция правдоподобия.

Предположим, что мы располагаем некоторой априорной информацией о , которая может быть представлена следующей бета-ФПВ

где есть нормирующая константа, а и b — априорные параметры, значения которых представляют нашу априорную информацию о . Придавая значения а и b, заметим, что для бета-ФПВ . В предположении, что приданы значения, достаточно хорошо представляющие априорную информацию о 0, которой располагает исследователь, (2.52) можно объединить с функцией правдоподобия (2.51) и получить апостериорную ФПВ для

которая относится к бета-виду (2.52) с параметрами Нормирующая постоянная для (2.53) равняется апостериорное математическое ожидание есть и апостериорная мода . Апостериорные вероятности, например , где суть заданные числа, легко могут быть получены методами численного интегрирования или с помощью таблиц неполной бета-функции. Кроме того, известно, что случайная переменная, имеющая бета-распределение, может быть преобразована в -распределенную переменную. В настоящем примере, если мы положим апостериори будет иметь -распределение с степенями свободы. Это полезный факт, позволяющий строить апостериорные вероятностные

утверждения относительно , т. е. соотношения исходов типов А и В.

Что касается случая, когда наша априорная информация относительно 0 является неясной, или расплывчатой, то в литературе ведется большая дискуссия о виде ФПВ, которая могла бы представить скудные знания о значении . Мы примем здесь следующую несобственную ФПВ для представления наших расплывчатых знаний о значении :

Априорное распределение этого вида может рассматриваться как предельное для априорных распределений вида (2.52) при стремлении а и b к нулю. С другой стороны, как Джеффрис, так и Линдли отмечают, что изменяется в пределах от 0 до и если положить равномерно распределенным по всей вещественной прямой, то из этого последует (2.54) в качестве априорной ФПВ для .

Объединяя априорную ФПВ (2.54) с функцией правдоподобия (2.15), получаем следующую апостериорную ФПВ для :

которая относится к бета-виду с параметрами Апостериорная ФПВ будет собственной при иными словами, в том случае, когда в нашей выборке хотя бы по разу появляются как событие А, так и событие В. Если это условие удовлетворяется, апостериорное математическое ожидание равно , т. е. выборочному отношению, а апостериорная дисперсия есть Кроме того, если мы располагаем апостериорной ФПВ (2.55), мы легко можем вычислить апостериорную вероятность того, что лежит в любом заданном интервале.