9.7.4. Экспериментальные результаты: точечные оценки

В табл. 9.2 мы представили распределение значений моды байесовских апостериорных распределений и оценок теории Выборочных исследований для прогона 12. Для каждой из 50 выборок объемом распределения оценок параметра 7, истинное значение которого равно 2,0, представлено в столбцах (2) и (3) таблицы. Можно видеть, что распределение значений моды байесовских апостериорных распределений имеет хорошо выраженную моду в интервале от 1,900 до 2,099, который содержит истинное значение 2,0, в то время как распределение оценок теории выборочных исследований в столбце (3) является почти прямоугольным на интервале от 1,300 до 2,499 (см. рис. 9.3 и 9.4). Отметим также, что две оценки из числа оценок теории выборочных исследований являются отрицательными для этого столбца при . Данные столбцов показывают, что с увеличением

Таблица 9.2. Распределение частот байесовских оценок и оценок теории выборочных исследований у (истинное значение ); прогон I

(см. скан)

Т до 40, 60 и 100 распределения значений моды байесовских апостериорных распределений и распределения оценок теории выборочных исследований становятся все более и более подобными и все теснее концентрируются вокруг истинного значения. Мы отметим, однако, что даже в выборках объемом 40, 60 и 100 в распределениях оценок теории выборочных исследований имеют место «выбросы». Этот факт будет обсуждаться ниже.

В табл. 9.3 мы представляем результаты, полученные для прогона II, в котором дисперсия увеличена до двух, по сравнению с единичной дисперсией прогона I. Коэффициент корреляции между также был изменен в прогоне I до 1/2. С учетом этих изменений из табл. 9.3 можно видеть, что распределения оценок являются более

островершинными и сильнее сконцентрированными вокруг истинного значения параметра , чем в случае прогона I для подходов обоих типов. Однако, как и в случае прогона I, можно видеть, что для выборок меньших объемов, при байесовские значения моды более тесно сконцентрированы вокруг истинного значения параметра у.

Рис. 9.3. Гистограмма распределения моды байесовских апостериорных распределений для (прогон )

Рис. 9.4. Гистограмма распределения оценок теории выборочных исследований для параметра у (прогон )

Так же как и в случае прогона I, подход с позиций теории выборочных исследований дает в ряду оценок «выбросы», что не является характерным для байесовского подхода к проблеме.

Что касается «выбросов», получающихся при применении методов теории выборочных исследований, то необходимо отметить, что они встречаются и в других экспериментах Монте-Карло. Хотя некоторые

Таблица 9.3. Распределение частот байесовских оценок и оценок теории выборочных исследований у (истинное значение ); прогон II

(см. скан)

исследователи называют в качестве возможных причин «выбросов» накопление ошибок округления и почти вырожденность матрицы моментов, но такое объяснение не является убедительным в случае «выбросов», полученных в наших экспериментах. По нашим данным, распределение оценивателя в (9.104) таково, что в условиях прогонов I и II значения на хвостах распределения могут появляться с вероятностью, которая должна приниматься во внимание. Тот факт, что байесовский подход не дает этого для значений апостериорной моды на хвостах распределения, по крайней мере в анализируемом множестве экспериментов, является действительно важным результатом.

Общий вид точных апостериорных распределений, построенных для условий прогона I, показан на рис. 9.5. Вообще говоря, для малых выборок эти распределения часто отличаются от нормального, будучи

обычно островершинными и скошенными, с толстыми хвостами. В случае больших выборок было больше распределений, близких к нормальному и еще более близких к уже обсуждавшемуся выше аппроксимирующему нормальному распределению.

В случае прогона III изменения в условиях проведения эксперимента относительно прогона II касаются только дисперсии которая возрастает до девяти. Новые условия позволяют повысить точность оценки параметра . Как и в случае прогона II, коэффициент корреляции между возмущениями уравнений структурной формы — был положен равным 1/2.

Рис. 9.5. Типичные апостериорные ФПВ для параметра (прогон )

Увеличивая дисперсию до девяти, мы создаем условия, при которых возможно получить более точные выводы относительно параметров в случае байесовского подхода и подхода с позиций теории выборочных исследований. Показанные в табл. 9.4 распределения получены для прогона III. Приведенные здесь результаты существенно отличаются от таковых из табл. 9.2 для прогона I. В случае прогона III распределения оценок для выборок различных объемов являются в значительной мере идентичными. Вероятно, это происходит вследствие того, что условия прогона III таковы, что результаты, полученные для больших выборок, остаются справедливыми и для случая малых Т. В этих экспериментах точные апостериорные распределения достаточно часто близки к нормальному и еще более близки к обсуждавшемуся выше аппроксимирующему нормальному распределению.

Одно положение, выявленное в результате анализа результатов, полученных при различных условиях, которые мы называем условно.

Таблица 9.4. Распределение частот байесовских оценок и оценок теории выборочных исследований параметра у (истинное значение ); прогон III

«большая выборка» существенно зависит от предпосылок, лежащих в основе модели. Для прогона I мы можем с некоторой степенью неопределенности утверждать, что результаты, полученные при больших выборках, остаются справедливыми для выборок, объем которых лежит в пределах 100 ± 30, в то время как для прогона III они будут оставаться справедливыми даже для выборки объема . Однако, располагая точным апостериорным распределением в случае байесовского подхода, мы в меньшей степени будем зависеть от объема выборки, чем в случае классического подхода с позиций теории выборочных исследований, в котором обычно опираются на выводы асимптотической теории для обоснования результатов, получаемых из данных конечной выборки.