А.5. ФПВ БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (БЕТА-ФПВ)

Говорят, что случайная переменная имеет бета-распределение, если и только если ее ФПВ имеет следующий вид:

где а, b, с обозначают бета-функцию, определенную в с аргументами а и b. Видно, что областью значения В является [0, с].

Произведя замену переменной можно получить стандартизованную бета-ФПВ:

область определения которой есть [0, 1]. Некоторые свойства будут рассмотрены ниже. То, что является собственной нормализованной ФПВ, может быть легко доказано, если заметить, что ФПВ неотрицательна при всех 0 1 и что сходится для всех а, Если 2, то кривая касается оси

абсцисс в точке и если то кривая касается оси при При а, мода равна:

Первый и высший моменты относительно нуля стандартизованной бета-ФПВ в имеют вид

где при выводе используются и рекуррентное соотношение для гамма-функции Таким образом, из (А.54) видно, что первые три момента задаются выражениями

и так далее. Очевидно, что математическое ожидание и высшие моменты зависят просто от параметров а и b. Далее, дисперсия задается следующим выражением:

Что касается скошенности, то мера Пирсона при равна:

Таким образом, если и ФПВ является симметричной. Если то имеет место положительная скошенность, в то время как при имеет место отрицательная скошенность.

Рассмотрим полезный и важный результат, связывающий стандартизованные гамма-ФПВ и бета-ФПВ. Пусть есть две независимые случайные переменные, каждая которых имеет стандартизованную гамма-ФПВ с параметрами соответственно (см. (А.31)). Также случайная переменная имеет

стандартизованную бета-ФПВ с параметрами а и иными словами, ФПВ для есть Этот результат часто находит. применение в случае, когда являются независимыми суммами квадратов независимых стандартизованных нормальных случайных переменных. Далее, ввиду того что бета-ФПВ может быть трансформирована в ФПВ Фишера — Снедекора, как это будет показано ниже, можно сказать, что имеет ФПВ, трансформируемую в ФПВ Фишера — Снедекора.

ФПВ, тесно связанной с бета-ФПВ, является так называемая бета-прим, или обратная бета-ФПВ (О бета-ФПВ). Ее стандартизованная форма получается из стандартизованной формы бета-ФПВ с помощью преобразования

Оигоо

Моменты этой ФПВ имеют вид

Этот результат получается с помощью замены переменной и использования свойств стандартизованной ненормированной бета-ФПВ. Затем из получим

и так далее. Дисперсия равна:

О бета-ФПВ имеет единственную моду, если в точке

Мера скошенности Пирсона для О бета-ФПВ равна:

Она является положительной и показывает, что О бета-ФПВ обычно имеет длинный правый хвост.

Наконец, мы можем получить важную альтернативную форму (А.60) с помощью замены

где а, Так как и мы уже нашли моменты, связанные с моменты для прямо получаются из момент относительно нуля равен стрг, где определено в (А.61). В следующем параграфе будет показано, что ФПВ Фишера — Снедекора и О -ФПВ С являются частными случаями