ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Если рассматривать переменную «инвестиции» в модели мультипликатора инвестиций в параграфе 3.1.3 как случайную величину, то какие следует сделать относительно нее допущения для того, чтобы обеспечить применимость методов анализа, изложенных в параграфе 3.1.3?

2. С Помощью априорных допущений, используемых в параграфе 3.1.3, и данных табл. 3.1 получите и постройте апостериорную ФПВ для общей дисперсии возмущения в модели мультипликатора инвестиций. Покажите, что апостериори величина имеет -ФПВ с степенями свободы. Используйте этот результат при построении 95%-ного байесовского доверительного интервала для дисперсии.

3. Используя данные, допущения и модель мультипликатора инвестиций из параграфа 3.1.3, получите прогнозную ФПВ для дохода при условии, что инвестиции принимают заданное значение, равное 50. Сравните математическое ожидание и дисперсию этой прогнозной ФПВ с таковыми прогнозной ФПВ при условии, что инвестиции принимают заданное значение, равное 100.

4. В задаче 3 вычислите прогнозный интервал, который с вероятностью 0,80 содержал бы ненаблюденное значение дохода, связанного с инвестициями, равными 50. Сделайте то же самое для значения дохода, связанного с инвестициями, равными 100. Вычислите прогнозную область, которая с вероятностью 0,80 содержала бы значения дохода, связанные с инвестициями в пределах между 50 и 100. Сравните оба полученных интервала с этой областью и интерпретируйте результаты сравнения.

5. Введем в анализ мультипликатора из параграфа 3.1.3 кейнсианское предположение, связав мультипликатор инвестиций с предельной склонностью к потреблению а, а именно где из априорных соображений

Какие априорные ограничения на область существования накладываются условием

Если принимается допущение, что равномерно распределено в интервале от нуля до единицы, то какая отсюда следует ФПВ для Прокомментируйте ее свойства.

(в) Если а имеет бета-ФПВ с параметрами а и приложение А, параграф 5), то какая отсюда следует ФПВ для при

Анализируя модель мультипликатора инвестиций на данных табл. 3.1, примите допущение, что априорная ФПВ для параметров модели задана как где есть априорная ФПВ для полученная в п. (б) настоящего упражнения. Получите апостериорную ФПВ для Используя процедуры одномерного численного интегрирования, нормируйте ее. Потом сравните результаты с апостериорной ФПВ для представленной на графике в параграфе 3.1.3, для того, чтобы увидеть, насколько чувствительны результаты к изменениям априорных допущений.

6. Рассмотрите апостериорную ФПВ для параметров нормальной многомерной регрессионной модели (3.31). Какова условная апостериорная ФПВ для при заданном а? Определите вектор ее математического ожидания и ковариационную матрицу.

7. Допустим, что в нормальной множественной регрессионной модели и мы осуществили блочное представление

и записали и. Как повлияет условие на свойства условной апостериорной ФПВ для при заданном а, которое было получено в упражнении 6? Какие следствия относительно маргинальной апостериорной ФПВ для представленной в (3.32), вытекают из условия ? В частности, вытекает ли из этого условия, что компоненты не коррелированы с компонентами и распределены независимо от них?

8. Из (3.32) получите выражение для апостериорного математического ожидания вектора который является подвектором , т. е.

Покажите, что апостериорное математическое ожидание есть если что есть математическое ожидание ФПВ, если член исключен из регрессионной модели и задана расплывчатая априорная ФПВ для и . Если , сравните с апостериорным математическим ожиданием вектора . В частности, покажите, что

где причем

В табл. на с. 101 представлены данные по отрасли «Транспортное машиностроение» США за 1957 г.

Допустим, что эти данные генерированы производственной функцией Кобба — Дугласа, т. е.

или

где суть неизвестные параметры; и N определены в таблице; нижний индекс i соответствует номеру штата, к которому относятся данные, есть случайное возмущение. Допустим также, что нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной

Рассмотрев альтернативные допущения о свойствах независимых переменных в регрессионных моделях, сделайте заключение о том, можно ли из априорных соображений считать, что удовлетворяют некоторым или всем этим альтернативным допущениям.

10. Допустив целесообразность анализа данных из упражнения 9 в рамках регрессионной модели, постройте функции правдоподобия и получите оценки наибольшего правдоподобия для ?

Ежегодный обзор предприятий по отрасли «Транспортное машиностроение» за 1957 г.

11. Выведите и постройте апостериорную ФПВ для параметров функции (б) из упражнения 9, используя данные, представленные в таблице и расплывчатую априорную ФПВ , где Сравните математические ожидания этих апостериорных ФПВ с оценками наибольшего правдоподобия соответствующих параметров, полученными в упражнении 10.

12. В упражнении 11 выведите маргинальную апостериорную ФПВ для постройте ее график. Существует ли математическое ожидание и более высокие апостериорные моменты ? Сравните моду апостериорной ФПВ для с оценкой наибольшего правдоподобия для А. Что можно сказать об этих величинах для случая большой выборки?

13. С позиций теории производственных функций прокомментируйте априорные допущения относительно параметров производственной функции, принятые в упражнении 11. Существенно ли влияние допущения неотрицательности на численные результаты, полученные в упражнении 11?

14. При условиях, заданных в упражнении 11, выведите и постройте апостериорную ФПВ для параметра отдачи от масштаба. Постройте -ный байесовский доверительный интервал для этого параметра.

15. Приняв спецификацию (б) из упражнения 9, предположите, что мы сделали допущение постоянной отдачи от масштаба, т. е. при Как вы формализуете априорную ФПВ, чтобы она отражала эту информацию при анализе данных таблицы с помощью спецификации (б) из упражнения 9?

16. Пусть есть параметр отдачи от масштаба. Рассмотрите априорную ФПВ для а именно Могут ли обе ФПВ, т. е. маргинальная априорная ФПВ для условная ФПВ для одновременно являться бета-ФПВ при Приведите пример, иллюстрирующий ваш ответ.