10.2. АНАЛИЗ ГИПОТЕЗ С РАСПЛЫВЧАТЫМИ АПРИОРНЫМИ ФПВ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ

В этом параграфе мы рассмотрим процедуру Линдли для байесовской проверки критериев значимости с. 58 и дальше]. Как подчеркивает сам Линдли, его процедура пригодна только в случае, когда априорная информация является неясной или расплывчатой. Иначе говоря, она применима, если мы имеем дело с гипотезой о том, что скалярный параметр равен значению параметра при «нулевой гипотезе», а альтернативной гипотезой является предположение, что априорное распределение в окрестности значения нуль-гипотезы, , «... должно быть достаточно гладким для того, чтобы проверка была чувствительной» [82, ч. 2, с. 61]. Это означает, что в нашей ситуации нет оснований верить, что является более сильным предположением, чем где есть произвольное

значение в окрестности . Позднее мы увидим, что для многих, хотя и не для всех задач, процедура Линдли ведет к проверкам, которые с вычислительной точки зрения эквивалентны проверкам, известным из теории выборочных исследований. Однако интерпретация подхода Линдли для байесовских проверок значимости фундаментально отличается от интерпретации теории выборочных оценок. Должно быть также осознано, что когда априорная информация не является ни неясной, ни расплывчатой, то результаты в значительной степени определяются априорно информацией, как это и будет показано ниже.

В процедуре Линдли апостериорная ФПВ для параметра (или параметров) модели получается при помощи расплывчатой априорной ФПВ. Пусть апостериорная ФПВ для параметра обозначена через где У является информацией выборки. Кроме того, сделаем допущение, что является унимодальной. Для осуществления проверки значимости гипотезы где является предполагаемым значением параметра с применением процедуры Линдли при уровне значимости а (равном, скажем, 0,05), мы построим интервал, такой, что . (Мы рассматривали во 2-й главе такой интервал, как байесовский доверительный интервал.) Если попадает в этот интервал, т. е. мы принимаем гипотезу с уровнем значимости, равным а; если не попадает в вышеназванный интервал или то мы отвергаем гипотезу при уровне значимости, равном а.

Рациональность процедуры Линдли заключается в том, что апостериорная ФПВ для параметра дает нам основание для выражения предположений относительно возможных значений параметра . Если значение лежит в области, в которой апостериорная плотность вероятностей не высока, то это дает возможность предполагать, что это значение параметра не является правдоподобным, и, таким образом, мы приходим к отклонению от гипотезы

Некоторые конкретные свойства процедуры Линдли заслуживают особого рассмотрения. Во-первых, поскольку подход основывается на применении функции правдоподобия, при этом употребляется вся информация выборки. Это контрастирует с некоторыми процедурами проверок, основанных на распределениях выборочных статистик, не являющихся достаточными. Во-вторых, мы обсуждаем гипотезу на основе апостериорных представлений, выраженных апостериорной ФПВ для параметра . Мы не делаем при этом суждений, основанных на том, что некоторые выборочные статистики могут принимать обычные или необычные значения при заданном как это принято в традиционных процедурах проверки теории выборочных исследований. Уровень существенной значимости при проверках теории выборочных исследований не должен интерпретироваться в терминах измерения степени уверенности в том, что гипотеза является обоснованной, хотя именно это интерпретация и встречается достаточно часто. В теории выборочных исследований назначение

гипотезам некоторых вероятностей не признается содержательной процедурой. В-третьих, Линдли подчеркивает, что «...уровень значимости является... неполным выражением нашей апостериорной уверенности». Обычно исследователь изучает свойства апостериорной ФПВ в деталях и не полагается исключительно на результаты проверки значимости для обоснования своей степени уверенности. Наконец, полезно еще раз подчеркнуть, что Линдли предлагает применять его процедуру только в том случае, когда априорная информация является неясной или расплывчатой. В случае, когда априорная информация не является неясной, при сравнении и проверке гипотез используются априорные шансы.

Пример 10.1. Предположим, что наши наблюдения являются независимыми и получены выборкой из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием и известным средним квадратичным отклонением . При каких условиях мы отклоним гипотезу если заданы уровень значимости, равной 0,05, и расплывчатые априорные предположения относительно

Применяя теорему Байеса, получим апостериорную ФПВ в виде

где является выборочным средним. Таким образом, апостериори является нормально распределенной величиной с математическим ожиданием и дисперсией, равной является стандартной нормально распределенной переменной, т. е. Обращаясь к таблицам нормального распределения, получим, что Логически эквивалентным будет следующее утверждение

Итак, если значение лежит в пределах интервала то мы принимаем гипотезу с уровнем значимости, равным 0,05; если нет, то гипотеза отвергается. В (10.20) существенно подчеркнуть, что рассматривается в качестве случайной переменной, в то время как зависящая от заданной информации выборки, задана наряду с и п. Это положение контрастирует с подходом теории выборочных исследований, где рассматривается в качестве случайной величины и гипотеза принимается с уровнем значимости, равным 0,05, если , и отклоняется, если т. е. гипотеза принимается, если принадлежит к интервалу и отклоняется, если лежит вне этого интервала. Отметим, что это действие в точности эквивалентно действию, предпринимаемому на основе (10.20), когда мы следуем процедуре Линдли.

Однако интерпретация и обоснование в случае использования процедуры выборочного метода принципиально отличны от последних в случае байесовского подхода.

Пример 10.2. В 3-й главе было показано, что в случае расплывчатой априорной ФПВ для регрессионных коэффициентов и общего среднего квадратичного отклонения возмущений в линейной нормальной регрессионной модели маргинальная апостериорная ФПВ для одного регрессионного коэффициента, скажем является одномерной -ФПВ Стьюдента, т. е. апостериори утверждается, что имеет одномерную -ФПВ Стьюдента с степенями свободы (см. (3.39)). Если желательно проверить гипотезу используя процедуру Линдли при уровне значимости, равном 0,20, то, обращаясь к таблицам -распределения Стьюдента при степенях свободы, можно найти с, такое, что Пользуясь данным выше определением имеем Следовательно, если значение попадает в интервал то гипотеза принимается; в противном случае гипотеза отклоняется. Как и в примере 10.1, это приводит к тем же самым действиям, что и при проверке гипотез с позиции теории выборочных исследований, основанной на рассмотрении случайной переменной

Пример 10.3. Рассмотрим апостериорную ФПВ для коэффициента автокорреляции в (4.19). Используя методы численного интегрирования, мы можем найти минимальный интервал, такой, что а. Для проверки гипотезы где есть заданная величина, определим, принадлежит ли к интервалу . Если то гипотеза принимается, в противном случае — отклоняется при уровне значимости, равном . В этом случае в простом подходе с позиции теории выборочных исследований нет аналога, который обеспечивал бы сопоставимые результаты.

Во всех приведенных выше примерах мы использовали подход Линдли для проверки гипотез относительно простого скалярного параметра. Если мы имеем дело с совместной гипотезой относительно двух или более параметров, скажем, вектора параметров то сначала строится байесовская доверительная область «максимальной апостериорной плотности» для с содержанием вероятности . Если наша гипотеза есть где есть заданный вектор, то мы принимаем ее, когда попадает в доверительную область, и отклоняем в противоположном случае при уровне значимости, равном .

Пример 10.4. Рассмотрим простую линейную нормальную регрессионную модель из параграфа 3.1. Уравнение (3.18) и результирующие распределения вероятностей позволяют нам построить байесовскую

доверительную область (эллипс) с произвольно заданным содержанием вероятности, например, . Теперь, если наша гипотеза есть где являются заданными значениями, то гипотеза принимается, когда точка принадлежит байесовской доверительной области, и отклоняется в противоположном случае при уровне значимости, равном а. Эквивалентно вычислим в (3.18) при и обозначим вычисленное значение через . Поскольку апостериори величина распределена как , где обращаясь к таблицам -распределения, можно найти такое с, при котором Если мы принимаем гипотезу, что при уровне значимости, равном . Если , то мы отклоняем гипотезу при уровне значимости, равном а.

Подводя итог, можно сказать, что процедура Линдли для проверки значимости может применяться только тогда, когда априорная информация неясная или расплывчатая. По существу, основным признаком принятия гипотезы является попадание предполагаемого нулевой гипотезой значения параметра в интервал, в котором апостериорная плотность распределения вероятностей высрка; в противном случае гипотеза отклоняется. Не существует удовлетворительного обоснования этой процедуры с позиций теории принятия решений. Скорее, она полностью базируется на том, что представляется рациональным апостериори. Для ряда задач процедура Линдли приводит к решениям «принять» или «отклонить», которые эквивалентны решениям, вытекающим из процедуры проверки в теории выборочных исследований. Однако в некоторых случаях, например при проверке гипотезы относительно параметра автокорреляции, процедура Линдли дает удобные с вычислительной точки зрения результаты, тогда как соответствующие результаты теории выборочных исследований приводят к вычислительным затруднениям. Наконец, в случае больших выборок, когда функция правдоподобия имеет нормальную форму с вектором математического ожидания, равным оценке МНП вектора параметров и ковариационной матрицей, равной матрице, обратной к оценке информационной матрицы (см. гл. 2, § 2.10), процедура проверки Линдли обеспечивает результаты, с вычислительной точки зрения эквивалентные результатам, получаемым с помощью теории выборочных исследований. При этом используется нормальность оценок МНП, центры которых находятся в точке, совпадающей с вектором истинных значений параметров с приближенной ковариационной матрицей, принимаемой равной матрице, обратной к оценке информационной матрицы.