5.3. АНАЛИЗ СТРУКТУРНОЙ ФОРМЫ МОП МЕТОДОМ НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Модель (5.30)-(5.31), в которой вектор предполагается стохастическим, часто называют структурной формой МОП. Может быть, наиболее фундаментальный результат получен в этом случае Кифером и Вольфовицом, доказавшими, что если параметры идентифицируемы, то «при обычных условиях регулярности оцениватель МНП для структурного параметра сильно состоятелен тогда, когда (бесконечно много) ветвящихся параметров представляют собой независимо распределенные случайные переменные с неизвестной общей функцией распределения» [74].

В числе других результатов они показали, что если независимо распределены и каждая из них имеет одинаковое ненормальное распределение, оцениватели структурных параметров будут состоятельными-Условие ненормальности требуется для идентифицируемости струк. турных параметров (согласно результату Рейерсола [107]), если делается допущение, что об этих параметрах ничего не известно.

Для того чтобы показать существо проблемы идентифицируемости для модели (5.30)-(5.31) в условиях, когда по допущению независимы от у и распределены нормально и независимо, каждая с математическим ожиданием и дисперсией мы заметим, что наряду с другими допущениями о свойствах распределений, вводимых в связи с (5.30)-(5.31), пары переменных будут независимо

и одинаково распределены, причем каждая пара образует двумерное нормальное распределение. Моменты для i = 1,2,..., имеют вид:

Поскольку эти пять моментов полностью определяют двумерное нормальное распределение и поскольку выборочные моменты в этом примере являются достаточными статистиками, мы можем приравнять выборочные моменты к моментам генеральных совокупностей, для того чтобы попытаться получить оценки. Есть, однако, фундаментальное затруднение, связанное с этим подходом: оно состоит в том, что, хотя мы располагаем пятью зависимостями (5.54)-(5.58), нам нужно оценить шесть неизвестных параметров: . Таким образом, мы не можем получить оценки всех параметров, если не будем располагать дополнительной априорной информацией, которая позволит нам сократить число неизвестных параметров.

Сначала рассмотрим случай, когда нам известно, что Если мы располагаем подобной информацией, мы можем приравнять выборочные моменты к их соответствующим моментам генеральной совокупности. Из (5.54) следует, что и из (5.54) — (5.55), что где суть выборочные средние. Оцениватель имеет вид отношения двух коррелированных нормальных случайных переменных; следовательно, его математическое ожидание и более высокие моменты не существуют. Используя эту оценку для , мы получаем из (5.56) — (5.58):

и

где

Хотя информация обеспечивает нам получение оценок остальных параметров, следует заметить, что этот подход может привести к отрицательным оценкам для какой-либо или для всех дисперсий: иными словами, априорная информация о положительности

этих дисперсий не вводится в явном виде, вследствие чего возможность получения бессмысленных оценок дисперсий не исключается. Далее из (5.56) и (5.58) мы можем получить оценки дисперсии о? и из (5.57) и Поскольку мы имеем

и

Из (5.59) — (5.60) при условии мы имеем

Если неравенства (5.61) изменяются на противоположные. Таким образом, априорная информация о том, что объединенная с зависимостями (5.56) — (5.58), предполагает, что попадает в один из двух конечных интервалов, заданных (5.60) или (5.61) с противоположными знаками неравенства . Поскольку наш оцениватель есть он существует в области от до и тем самым может нарушить границы, установленные (5.61).

Подводя итоги, можно сказать, что, если известно, что оценки остальных параметров могут быть получены путем приравнивания выборочных моментов к соответствующим моментам генеральной совокупности. Однако полученные таким образом оценки могут оказаться не совместными с основной априорной информацией; например, оценки дисперсий могут оказаться отрицательными, что противоречит априорной информации о неотрицательности дисперсий. Теория выборочных исследований в настоящее время еще не разработала процедур, позволяющих решить проблемы «отрицательной дисперсии» для .

Если известен не параметр , а отношение дисперсий выборочные моменты могут быть подставлены в вместо соответствующих моментов генеральной совокупности и таким образом получены оценки иными словами, если мы примем, что то (5.58) дает и (5.56) дает . Уравнение (5.57) принимает вид стср, и, подставляя в него оценки получаем в результате

Заменяя 0 соответствующими выборочными моментами, имеем

т. е. зависимость точно такого же вида, как (5.49). Оценка МНП для получается затем из Оценки остальных параметров задаются Кроме того, из (5.54) имеем и из

Выше мы вели исследование в условиях допущения, что нормально и независимо распределены, каждая компонента с математическим ожиданием и дисперсией, равной . В условиях такого допущения для идентифицируемости параметров требуется дополнительная априорная информация. В свете результатов Рейерсола, однако, получается, что если распределены не нормально, то параметры оказываются идентифицируемыми. Для иллюстрации рассмотрим пример и в качестве ненормального распределения примем

В (5.62) мы приняли допущение, что равномерно и независимо распределены. Ниже мы рассмотрим, как это допущение относительно влияет на оценки МНП.

Для построения функции правдоподобия в общем виде мы рассматриваем совместную ФПВ для

где обозначает вектор параметров, причем есть вектор параметров условной ФПВ для при заданном подвектор участвующий в маргинальной ФПВ для компонент . Чтобы получить маргинальную ФПВ для следует интегрировать по компонентам , т. е. имеет место

Теперь рассматриваемая как функция от компонент является функцией правдоподобия.

В случае МОП, в которой вектор по допущению имеет ФПВ вида (5.62), эта функция правдоподобия получается путем интегрирования следующего выражения по компонентам

Для того чтобы осуществить интегрирование по компонентам мы можем выделить полный квадрат в экспоненте, после чего, воспользовавшись свойствами нормального распределения, мы получаем

где Максимизируя по , мы находим следующие максимизирующие значения :

Очевидно, что и есть просто оценки 1МНК, полученные из регрессии по Этот неожиданный результат зависит решающим образом от допущения (5.62) о ФПВ для которое предполагает, что дисперсии бесконечны. Если принять такое допущение, то оказывается, что дисперсии ошибок измерения пренебрежимо малы по отношению к дисперсиям компонент и становится состоятельным оценивателем. Информация о размахе распределения содержащаяся в (5.62), отражается на виде оценивателя МНП, который представлен в (5.66).