11.4. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯМ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ

В предыдущих параграфах мы проанализировали несколько задач управления с помощью симметрической квадратичной функции потерь. Сейчас мы представим результаты вычислений, иллюстрирующие зависимость получаемых результатов от некорректных допущений относительно вида функции потерь. Этот анализ может быть назван анализом на «робастность относительно изменений функции потерь».

Для получения экспериментальных данных генерируется наблюдений с помощью следующей простой регрессионной модели:

где получены независимой выборкой из нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной получены независимой выборкой из нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,64. Генерированные таким образом данные представлены в табл. 11.2. Используя данные этой таблицы, рассчитаем следующие выборочные статистики:

где

Таблица 11.2

Данные, генерированные с помощью простой регрессионной модели (11.53)

Что касается функции потерь, то мы рассмотрим следующие симметричные функции:

где . Запись (11.54) объединяет корень квадратный из ошибки модуль ошибки квадрат ошибки и четвертую степень ошибки Для каждой из этих функций вычисляем следующий интеграл:

при различных значениях , где является прогнозной ФПВ, представленной в (11.6). Результаты вычислений представлены в табл. 11.3.

Таблица 11.3. Ожидаемые потери как функция установки управлений и вида функции потерь

Из табл. 11.3 можно увидеть, что оптимальная установка значения для до в случае функции потерь, равной квадрату ошибки до, равна 1,9144, а связанные с этим потери составляют 10,533. Допустим теперь, мы ошиблись, предполагая, что функция потерь имеет вид в то время как в действительности . При ожидаемые потери в случае функции потерь, равной модулю ошибки, составляют 2,5475 Это значение достаточно близко к минимально ожидаемым потерям 2,5465, связанным с оптимальным значением до для функции потерь, равной модулю ошибки, а именно . Подобные результаты просуммированы в табл. 11.4. Отсюда видно, что для этой задачи оптимальное решение в случае функции потерь, равной квадрату ошибки, является робастным относительно изменений вида функции потерь до тех пор, пока мы ограничиваемся симметричными функциями потерь.

Для изучения робастности решений в случае отклонения вида функции потерь от симметричного, проведем вычисления, аналогичные

Таблица 11.4. Ожидаемые потери, связанные с оптимальным управлением и использованием решения для случая квадратичной функции потерь

сделанным выше, используя при этом следующие функции потерь:

В (11.56) задан класс линейных функций потерь, которые являются асимметричными при Как и выше, мы принимаем, что

Для каждой из этих функций потерь значение до, минимизирующее (11.55), найдено с помощью последовательного численного интегрирования. Результаты этих вычислений представлены в табл. 11.5.

Таблица 11.5. Сравнение оптимальных решений для асимметричных линейных функций потерь с результатами установки оптимальных управлений для случая функции потерь, равной квадрату ошибки, и случая подхода эквивалентной достоверности

Можно отметить, что в противоположность результату, полученному для симметричных функций потерь, оптимальное решение для случая квадратичной функции потерь, обозначенное через не является устойчивым относительно рассмотренных отклонений вида

функции потерь от симметричного. Например, при оптимальное значение w равно 1,0944, причем связанные с ним ожидаемые потери составляют 3,5272, в то время как для ожидаемые потери равны 4,1358. Однако для значений k, лежащих в пределах от 0,50 до 2,0, использование решения для случая квадратичной функции потерь не отражается существенно на увеличении ожидаемых потерь. Использование приближенного решения эквивалентной достоверности вызывает довольно значительное повышение уровня ожидаемых потерь относительно минимально ожидаемых потерь при Для некоторых значений к применение приводит к меньшим ожидаемым потерям, чем применение

В заключение можно сказать, что для рассматриваемого круга функций потерь, задач и исходных данных найдено, что оптимальное решение в случае функции потерь, равной квадрату ошибки, является достаточно робастным к изменению вида функции потерь, за исключением случая значительной асимметрии.