ПРИЛОЖЕНИЕ

В этом приложении мы рассмотрим задачу интегрирования (5.85) по компонентам . Сомножители (5.85), содержащие 1, представлены ниже:

где было определено выше в связи с (5.83). Это выражение должно быть проинтегрировано по компонентам 1 в области

Прежде всего произведем замену переменных

или

где . Тогда

и (1) можно переписать в терминах :

где причем есть единичная матрица размерйости , а вектор-столбец, все

компоненты которого являются единицами. Полагая получаем из (3)

Мы можем рассматривать интегрирование (4) по компонентам w как задачу нахождения математического ожидания , где нормально распределены. Для того чтобы избавиться от до в знаменателе, мы используем преобразование Гельмерта , где

Известно, что матрица В в преобразовании Гельмерта ортогональна. Таким образом, якобиан преобразования равен единице. Поскольку являются линейными комбинациями , они также нормально распределены, причем Отсюда следует, что с или , что имеет место ввиду ортогональности В. Наконец, из свойств преобразования Гельмерта (5) следует, что

Используя (6) и (7), мы можем из выражения (4) получить

Интегрируя (8) по в пределах от до мы получаем численную константу. Интегрирование по остальным рассматривается как процесс получения математического ожидания , где нормально и независимо распределены, каждая со своим математическим ожиданием . При этих условиях имеет следующую нецентральную -ФПВ

где есть параметр нецентральности, который задается как , где q было определено выше в связи с выражением (26). Затем, домножая (9) на получаем, что интересующий нас интеграл пропорционален

Производя почленное интегрирование и учитывая

мы получаем, что интеграл в выражении (10) пропорционален

или

где

причем