ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. Рассмотрите следующую модель, состоящую из уравнений спроса и предложения:

где индекс t означает значение переменной в момент времени цена и количество соответственно — являются внутрисистемными переменными; переменные дохода и издержек соответственно — являются внесистемными переменными; - структурные параметры; неавтокоррелируемые случайные возмущения. Предположим, что нормально распределены с нулевыми математическими ожиданиями, дисперсиями, равными и нулевой ковариацией, т. е. для всех t. При заданном начальном наблюдении выпишите функцию правдоподобия и получите

оценки МНП параметров при заданных выборочных данных для Какой вид имеет информационная матрица этой системы?

2. Проанализируйте модель спроса и предложения в упражнении 1 со следующей расплывчатой априорной ФПВ для параметров:

3. Пусть в упражнении являются автокоррелированными и удовлетворяют условию для всех t, где является неизвестным параметром и нормально и независимо распределена с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной Покажите, как при этих условиях можно получить байесовские оценки и оценки МНП параметров

4. В упражнении 1 при условии выпишите функцию правдоподобия в терминах . Затем, используя априорные допущения упражнения 2 и условие, что где заданное значение, покажите, как получить условную апостериорную ФПВ для параметров при известном

5. В связи с простой моделью Хаавельмо, сформулированной в (9.36) и (9.37), постройте информативную априорную бета-ФПВ для параметра а — предельной склонности к потреблению — и покажите, как она может быть применена в сочетании с другими априорными допущениями в целях получения апостериорной ФПВ для параметра а.

6. В упражнении 5 выведите следующую из априорной бета-ФПВ для параметра а априорную ФПВ для мультипликатора и проверьте, как ее свойства зависят от параметров априорной ФПВ для параметра а.

7. Используя информацию Хаавельмо для США, 1929-1941 гг. постройте апостериорную ФПВ для параметра а, выведенную в упражнении 5:

8. Сформулируйте относительно расплывчатую априорную ФПВ для параметров следующей несколько расширенной модели Хаавельмо:

где является внутрисистемной переменной, нормально и независимо распределены с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной

9. На основе априорной ФПВ, сформулированной в упражнении 8, и информации Хаавельмо, приведенной в упражнении 7, выведите и рассчитайте апостериорную ФПВ для параметров модели в упражнении 8 при условии, что начальное значение для есть т. е. значение в 1928 г. В частности, проверьте апостериорную ФПВ для параметра у с целью получения ответа на вопрос о том, не предполагает ли информация, содержащаяся в исходных данных и в априорных предположениях, нулевое значение этого параметра.

10. В задаче 9, используя совместную апостериорную ФПВ для параметров а и у, объясните, как получить маргинальную апостериорную ФПВ для параметра , «долговременную» предельную склонность к потреблению. Затем постройте предельную апостериорную ФПВ для

11. Пусть для фирмы выпуска, затрат труда и затрат капитала. Предполагается, что производственная функция является функцией Кобба—Дугласа и что фирма в своей деятельности стремится к максимизации математического ожидания прибыли. Известно, что корректна следующая модель для наблюдений

производственная функция: .

условия на затраты труда:

условия на затраты капитала: при , где являются соответственно коэффициентами эластичности от труда и от капитала функции Кобба—Дугласа; параметры, и делается допущение, что независимо и нормально распределены с нулевым вектором математических ожиданий и общей положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности имеющей вид

В последнем выражении является дисперсией ковариационная матрица для размерности Выпишите функцию правдоподобия системы и получите оценки МНП для параметров системы.

12. Используйте функцию правдоподобия из упражнения 11 совместно с расплывчатой априорной ФПВ для параметров следующего вида: где Здесь мы делали допущение, что положение параметров является априори независимым от масштаба параметров Далее, вышеприведенная форма для

обеспечивается применением теории инвариантности Джеффриса. Сделав допущение, что существуют в пределах от до выпишите совместную апостериорную ФПВ для параметров и проинтегрируйте ее в целях получения маргинальной апостериорной ФПВ для которая является трехмерной -ФПВ Стьюдента с центром в оценке МНП, если принять, что существуют в пределах от до

13. По данным упражнения 12 постройте альтернативную априорную ФПВ для параметров которая отражает информацию, предлагаемую экономической теорией, а именно, что и покажите, какое это может найти применение при анализе модели Кобба—Дугласа, рассмотренной в упражнении 11. Как будет такая априорная информация воздействовать на апостериорную ФПВ для параметров и на оптимальные точечные байесовские оценки в случае малых и в случае больших выборок?

14. Пусть , где и внутрисистемные переменные; у — скалярный параметр; есть -мерный вектор-столбец заданных величин, причем является матрицей размерности и ранга есть -мерный вектор-столбец параметров, возмущения. Сделаем допущение, что пары нормально и независимо распределены с нулевыми векторами математических ожиданий и положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности Является ли эта система эмпирически эквивалентной системе где пары по предположению также нормально и независимо распределены с нулевым вектором математических ожиданий и положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности

15. Пусть сформулирована априорная ФПВ для параметров, входящих во вторую систему упражнения 14, вида

где является маргинальной априорной ФПВ для параметра у. Что можно сказать, имея эту априорную ФПВ, относительно априорной ФПВ для , ковариационной матрицы возмущений первой системы из упражнения 14?

16. Используя априорную ФПВ из упражнения 15, проанализируйте систему из упражнения 14 в целях получения маргинальной апостериорной ФПВ для параметра у.

17. Как и в параграфе 9.5, проанализируйте первое уравнение системы одновременных уравнений, сделав, однако, допущение, что ковариационная матрица возмущений уравнений структурной формы имеет вид

где — положительно-определенная симметрическая матрица; и — общая дисперсия компонент матрица без нулевых элементов размерности а есть -мерный нулевой вектор-строка.

18. Пусть задано, что в системе (9.1) являются блочно-диагональными

где ковариационная матрица возмущений подмножества уравнений системы, матрица коэффициентов при внутрисистемных переменных которых есть Покажите, как это обстоятельство приводит к представлению функции правдоподобия в виде произведения.