9.4. АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ СИСТЕМАМИ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИИ

Модель, которая будет проанализирована нами первой, — это модель потребления Хаавельмо

где эндогенные переменные — соответственно дефлятированный расход на потребление и располагаемый доход на душу населения; внесистемная переменная, представляющая «автономные расходы»; возмущение. Мы сделаем допущение, что имеют нулевые математические ожидания, общую дисперсию, равную и являются нормально и независимо распределенными. При этих условиях функция правдоподобия модели имеет вид

Допустим также, что априорная ФПВ имеет вид

где Априорно мы утверждаем, что равномерно и независимо распределены и что а, предельная склонность к потреблению, существует в интервале (0,1). Этот пример показывает, как в анализ могут быть введены ограничения, заданные в виде неравенств.

Объединяя функцию правдоподобия (9.38) с априорной ФПВ (9.39), мы получим апостериорную ФПВ для параметров

Если целью анализа является получение выводов относительно предельной склонности к потреблению а, то необходимо проинтегрировать (9.40) по , чтобы получить предельную апостериорную ФПВ для а, которая будет иметь вид

И

является оценкой метода наименьших квадратов, полученной путем регрессии по .

Рассматривая (9.41), можно заметить, что ФПВ является произведением сомножителя в форме ФПВ усеченного многомерного -распределения Стьюдента с центром в оценке наименьших квадратов а, приведенной в (9.42), если , и второго сомножителя — якобиана Сомножитель сдвигает центр апостериорной ФПВ в направлении нуля и, следовательно, может быть грубо интерпретирован в терминах теории выборочных исследований как компенсирующий полученный Хаавельмо результат, согласно которому Эта интерпретация предложена Ротенбергом [111].

Рис. 9.1. Маргинальные апостериорные распределения для параметров а и (5: (а)

Пользуясь ежегодными данными Хаавельмо за 1929-1941 гг. , Четти [23], [24] построил апостериорную ФПВ (9.41), график которой показан на рис. 9.1 г. Математическое ожидание апостериорной ФПВ для параметра а равно 0,66, т. е. меньше чем значение оценки метода наименьших квадратов (9.42), равной по подсчету Хаавельмо 0,732. Дополнительно следует отметить, что поскольку мы располагаем полной апостериорной ФПВ для параметра а, получение апостериорных вероятностных утверждений не вызывает никаких затруднений.

Далее, апостериорная ФПВ для мультипликатора Кейнса, , может быть получена из функции выборочные данные), приведенной

в (9.41). Эта апостериорная ФПВ для мультипликатора будет включать как априорную информацию о принадлежности коэффициента предельной склонности к потреблению а к интервалу (0,1), так и всю информацию выборки. Естественно, что если вводится в рассмотрение дополнительная априорная информация относительно параметра а, то она также должна быть отражена в апостериорной ФПВ для мультипликатора.

Точно так же, как при недавних дискуссиях, касавшихся проверки «доходно-расходной» и «количественно-теоретической» моделей Фридмана — Мейзельмана [44], Хаавельмо [57] в своей работе 1947 г. рассмотрел допущение, согласно которому в (9.37) является внесистемной переменной. Для исследования этого допущения он сформулировал две более широкие модели, в которых оно было ослаблено. Здесь мы рассмотрим анализ его третьей модели, уравнения которой имеют вид

В этой модели функция потребления (9.43) является в точности той же самой, что и в его первой модели. Уравнение (9.44) представляет «валовое накопление предпринимательского сектора», т. е. связывает это накопление с совокупным «валовым располагаемым доходом» инвестициями частного сектора. Наконец, Хаавельмо рассматривает (9.45) в качестве балансового тождества, приняв допущение, что является внесистемной переменной и вводит в рассмотрение возмущения . В этой системе являются внутрисистемными переменными. Заметим, что, по определению, мы имеем где является переменной, входящей в (9.37). Таким образом, если в независимо распределены, то будет внесистемной переменной, как это и было принято в первой модели. Изучение влияния отказа от этих предположений на выводы, получаемые относительно параметров модели, представляет наилучшую возможность исследовать следствия, вытекающие из допущения о внесистемности

Если мы подставим (9.45) в (9.43), то получим

- модель, состоящую из двух уравнений с двумя внутрисистемными переменными и одной внесистемной переменной . Мы предположим, что имеют двумерную нормальную ФПВ с нулевым вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей , положительно-определенной симметрической матрицей размерности Далее предположим, что разновременные случайные возмущения распределены независимо. При этих условиях функция правдоподобия модели имеет вид

где J является якобианом соответствующего преобразования от к :

матрицей размерности связанной со структурными параметрами и наблюдениями через зависимости (9.46), (9.47), и вектором структурных коэффициентов.

Мы принимаем допущение, согласно которому не только но также и поскольку есть предельная склонность к сбережению в частном предпринимательском секторе. Для целей нашего исследования допустим также, что

т. е. что компоненты равномерно и независимо распределены, и мы располагаем расплывчатой априорной информацией относительно различных элементов или, что эквивалентно, относительно различных элементов . С учетом этих априорных предположений совместная апостериорная ФПВ параметров может быть представлена в виде

Интегрируя по , получим

Далее интегрирование по свободным членам приводит к

где является матрицей размерности в которой типовые элементы их и задаются следующими выражениями

и

соответственно. В определении величины являются выборочными средними.

Используя информацию Хаавельмо и методы численного интегрирования, вычислим с помощью (9.53) маргинальную апостериорную ФПВ для параметров а и . Обе маргинальные функции являются унимодальными. Функция для параметра а имеет математическое ожидание, равное 0,705 и дисперсию, равную 0,00137, в то время как функция для параметра имеет математическое ожидание, равное 0,158, и дисперсию равную 0,00050. На рис. 9.2 показаны линии уровней совместной апостериорной ФПВ. Полученные результаты дают основание полагать, что параметр имеет ненулевое значение.

Следует также отметить, что (9.53) может служить для изучения чувствительности выводов сделанных относительно а к различным допущениям относительно параметра иными словами, если допустить, например, что , где известная величина, то для анализа

(9.53) при данном допущении могут быть приложены численные методы. Далее, если принять допущение, что возмущения в (9.46) и (9.47) некоррелированны и если введены расплывчатые априорные допущения относительно то апостериорные ФПВ для параметров а и в условиях априорных допущений относительно других параметров и относительно областей существования а и легко могут быть получены.

Рис. 9.2. Линии уровней совместной апостериорной ФПВ для параметров а и построенные в соответствии с (9.53)

Для иллюстрации некоторых сторон «сверхидентифицируемых» в традиционном смысле систем рассмотрим следующую простую модель:

где являются внутрисистемными переменными; внесистемными переменными; есть скалярные параметры и являются возмущениями с ковариационной матрицей размерности Приведенная форма системы имеет вид

где

Очевидно, что или

Иными словами, мы получили ограничение на элементы матрицы . Таким образом, не все элементы обладают способностью к независимой

вариации при условий использования (9.60) в качестве априорной информации в нашем анализе модели. В этом случае особая осторожность должна быть проявлена при выборе априорной ФПВ для параметров В больших системах из ограничений на структурные коэффициенты обычно вытекает целый ряд ограничений на коэффициенты приведенной формы, которые должны быть приняты во внимание при анализе системы. Конечно, если наша априорная информация задана в терминах структурных параметров , то, как и выше, анализ системы должен проводиться без привлечения параметров приведенной формы системы.

В следующем параграфе мы рассмотрим байесовский аналог подхода к оцениванию с позиций теории выборочных исследований, который известен как оценивание уравнений «по одному». В этом подходе принимается во внимание идентифицирующая информация, относящаяся только к параметрам оцениваемого в данный момент уравнения. Такой подход полезен, например, в случае, когда имеется некоторая неопределенность относительно построения некоторых или всех остальных структурных уравнений модели или же когда мы желаем включить в наш анализ только ту часть априорной идентифицирующей информации, которая относится к параметрам оцениваемого в данный момент уравнения.