Главная > Байесовские методы в эконометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.4. АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ СИСТЕМАМИ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИИ

Модель, которая будет проанализирована нами первой, — это модель потребления Хаавельмо

где эндогенные переменные — соответственно дефлятированный расход на потребление и располагаемый доход на душу населения; внесистемная переменная, представляющая «автономные расходы»; возмущение. Мы сделаем допущение, что имеют нулевые математические ожидания, общую дисперсию, равную и являются нормально и независимо распределенными. При этих условиях функция правдоподобия модели имеет вид

Допустим также, что априорная ФПВ имеет вид

где Априорно мы утверждаем, что равномерно и независимо распределены и что а, предельная склонность к потреблению, существует в интервале (0,1). Этот пример показывает, как в анализ могут быть введены ограничения, заданные в виде неравенств.

Объединяя функцию правдоподобия (9.38) с априорной ФПВ (9.39), мы получим апостериорную ФПВ для параметров

Если целью анализа является получение выводов относительно предельной склонности к потреблению а, то необходимо проинтегрировать (9.40) по , чтобы получить предельную апостериорную ФПВ для а, которая будет иметь вид

И

является оценкой метода наименьших квадратов, полученной путем регрессии по .

Рассматривая (9.41), можно заметить, что ФПВ является произведением сомножителя в форме ФПВ усеченного многомерного -распределения Стьюдента с центром в оценке наименьших квадратов а, приведенной в (9.42), если , и второго сомножителя — якобиана Сомножитель сдвигает центр апостериорной ФПВ в направлении нуля и, следовательно, может быть грубо интерпретирован в терминах теории выборочных исследований как компенсирующий полученный Хаавельмо результат, согласно которому Эта интерпретация предложена Ротенбергом [111].

Рис. 9.1. Маргинальные апостериорные распределения для параметров а и (5: (а)

Пользуясь ежегодными данными Хаавельмо за 1929-1941 гг. , Четти [23], [24] построил апостериорную ФПВ (9.41), график которой показан на рис. 9.1 г. Математическое ожидание апостериорной ФПВ для параметра а равно 0,66, т. е. меньше чем значение оценки метода наименьших квадратов (9.42), равной по подсчету Хаавельмо 0,732. Дополнительно следует отметить, что поскольку мы располагаем полной апостериорной ФПВ для параметра а, получение апостериорных вероятностных утверждений не вызывает никаких затруднений.

Далее, апостериорная ФПВ для мультипликатора Кейнса, , может быть получена из функции выборочные данные), приведенной

в (9.41). Эта апостериорная ФПВ для мультипликатора будет включать как априорную информацию о принадлежности коэффициента предельной склонности к потреблению а к интервалу (0,1), так и всю информацию выборки. Естественно, что если вводится в рассмотрение дополнительная априорная информация относительно параметра а, то она также должна быть отражена в апостериорной ФПВ для мультипликатора.

Точно так же, как при недавних дискуссиях, касавшихся проверки «доходно-расходной» и «количественно-теоретической» моделей Фридмана — Мейзельмана [44], Хаавельмо [57] в своей работе 1947 г. рассмотрел допущение, согласно которому в (9.37) является внесистемной переменной. Для исследования этого допущения он сформулировал две более широкие модели, в которых оно было ослаблено. Здесь мы рассмотрим анализ его третьей модели, уравнения которой имеют вид

В этой модели функция потребления (9.43) является в точности той же самой, что и в его первой модели. Уравнение (9.44) представляет «валовое накопление предпринимательского сектора», т. е. связывает это накопление с совокупным «валовым располагаемым доходом» инвестициями частного сектора. Наконец, Хаавельмо рассматривает (9.45) в качестве балансового тождества, приняв допущение, что является внесистемной переменной и вводит в рассмотрение возмущения . В этой системе являются внутрисистемными переменными. Заметим, что, по определению, мы имеем где является переменной, входящей в (9.37). Таким образом, если в независимо распределены, то будет внесистемной переменной, как это и было принято в первой модели. Изучение влияния отказа от этих предположений на выводы, получаемые относительно параметров модели, представляет наилучшую возможность исследовать следствия, вытекающие из допущения о внесистемности

Если мы подставим (9.45) в (9.43), то получим

- модель, состоящую из двух уравнений с двумя внутрисистемными переменными и одной внесистемной переменной . Мы предположим, что имеют двумерную нормальную ФПВ с нулевым вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей , положительно-определенной симметрической матрицей размерности Далее предположим, что разновременные случайные возмущения распределены независимо. При этих условиях функция правдоподобия модели имеет вид

где J является якобианом соответствующего преобразования от к :

матрицей размерности связанной со структурными параметрами и наблюдениями через зависимости (9.46), (9.47), и вектором структурных коэффициентов.

Мы принимаем допущение, согласно которому не только но также и поскольку есть предельная склонность к сбережению в частном предпринимательском секторе. Для целей нашего исследования допустим также, что

т. е. что компоненты равномерно и независимо распределены, и мы располагаем расплывчатой априорной информацией относительно различных элементов или, что эквивалентно, относительно различных элементов . С учетом этих априорных предположений совместная апостериорная ФПВ параметров может быть представлена в виде

Интегрируя по , получим

Далее интегрирование по свободным членам приводит к

где является матрицей размерности в которой типовые элементы их и задаются следующими выражениями

и

соответственно. В определении величины являются выборочными средними.

Используя информацию Хаавельмо и методы численного интегрирования, вычислим с помощью (9.53) маргинальную апостериорную ФПВ для параметров а и . Обе маргинальные функции являются унимодальными. Функция для параметра а имеет математическое ожидание, равное 0,705 и дисперсию, равную 0,00137, в то время как функция для параметра имеет математическое ожидание, равное 0,158, и дисперсию равную 0,00050. На рис. 9.2 показаны линии уровней совместной апостериорной ФПВ. Полученные результаты дают основание полагать, что параметр имеет ненулевое значение.

Следует также отметить, что (9.53) может служить для изучения чувствительности выводов сделанных относительно а к различным допущениям относительно параметра иными словами, если допустить, например, что , где известная величина, то для анализа

(9.53) при данном допущении могут быть приложены численные методы. Далее, если принять допущение, что возмущения в (9.46) и (9.47) некоррелированны и если введены расплывчатые априорные допущения относительно то апостериорные ФПВ для параметров а и в условиях априорных допущений относительно других параметров и относительно областей существования а и легко могут быть получены.

Рис. 9.2. Линии уровней совместной апостериорной ФПВ для параметров а и построенные в соответствии с (9.53)

Для иллюстрации некоторых сторон «сверхидентифицируемых» в традиционном смысле систем рассмотрим следующую простую модель:

где являются внутрисистемными переменными; внесистемными переменными; есть скалярные параметры и являются возмущениями с ковариационной матрицей размерности Приведенная форма системы имеет вид

где

Очевидно, что или

Иными словами, мы получили ограничение на элементы матрицы . Таким образом, не все элементы обладают способностью к независимой

вариации при условий использования (9.60) в качестве априорной информации в нашем анализе модели. В этом случае особая осторожность должна быть проявлена при выборе априорной ФПВ для параметров В больших системах из ограничений на структурные коэффициенты обычно вытекает целый ряд ограничений на коэффициенты приведенной формы, которые должны быть приняты во внимание при анализе системы. Конечно, если наша априорная информация задана в терминах структурных параметров , то, как и выше, анализ системы должен проводиться без привлечения параметров приведенной формы системы.

В следующем параграфе мы рассмотрим байесовский аналог подхода к оцениванию с позиций теории выборочных исследований, который известен как оценивание уравнений «по одному». В этом подходе принимается во внимание идентифицирующая информация, относящаяся только к параметрам оцениваемого в данный момент уравнения. Такой подход полезен, например, в случае, когда имеется некоторая неопределенность относительно построения некоторых или всех остальных структурных уравнений модели или же когда мы желаем включить в наш анализ только ту часть априорной идентифицирующей информации, которая относится к параметрам оцениваемого в данный момент уравнения.

1
Оглавление
email@scask.ru