8.4. ТРАДИЦИОННАЯ МОДЕЛЬ С ИНФОРМАТИВНОЙ АПРИОРНОЙ ФПВ

Мы продвинулись вперед в использовании расплывчатой априорной ФПВ и в рассмотрении, случаев наличия точных ограничений на некоторые из элементов матрицы В. В этом параграфе мы рассмотрим проблему включения априорной информации относительно элементов В с помощью информативной априорной ФПВ. Предположим, что существующая априорная информация является достаточно точной. Тогда, применив ее, мы, разумеется, можем повысить точность получаемых нами выводов. Дополнительно мы путем сравнения свойств априорной и апостериорной ФПВ посмотрим, как выборочная информация изменяет наши представления. Проблема состоит в формулировании такого вида априорной ФПВ, который был бы пригоден с точки зрения представления априорной информации о широком круге проблем и достаточно удобной в применении. Должно быть ясно осознано, что нельзя выделить какой-либо единственный класс ФПВ, пригодный для приложения во всех мыслимых ситуациях, однако есть основания полагать, что класс, изучаемой ниже, будет полезным при рассмотрении многих проблем.

Как заметил Ротенберг [111], если мы используем «простое» естественно сопряженное априорное распределение 1 при изучении традиционной многомерной регрессионной модели, то это повлечет за собой наложение ограничений на параметры, а именно на дисперсии и ковариации коэффициентов в уравнениях системы. Это является результатом того, что матрица входит в ковариационную структуру в следующем виде: Таким образом, например, все отношения дисперсий соответствующих коэффициентов в первом и во втором уравнениях будут равными, если мы употребим простую естественно сопряженную априорную ФПВ. Путь решения этой проблемы состоит в применении обобщенной многомерной нормальной априорной ФПВ всех коэффициентов модели 2. Поступая подобным образом, мы обойдем проблему, отмеченную Ротенбергом, заплатив за это определенную цену в связи с тем, что такая обобщенная нормальная априорная ФПВ не сочетается так же аккуратно с функцией правдоподобия, как простая естественно сопряженная ФПВ. Однако эта цена не является чересчур высокой, поскольку ограничения, появляющиеся в ходе применения естественно сопряженной априорной ФПВ при изучении традиционной модели, не являются приемлемыми в большинстве рассматриваемых ситуаций.

Учитывая все вышесказанное, мы рассмотрим следующую априорную ФПВ:

где вектор-столбец математического ожидания априорного распределения, введенного в рассмотрение исследователем, а матрица размерности является априорной ковариационной матрицей, также заданной исследователем. Как и выше, предположим, что априорные знания относительно элементов матрицы S скудны, и используем расплывчатую априорную ФПВ, введенную и рассмотренную в параграфе 8.1.

Объединяя априорную ФПВ в (8.68) с функцией правдоподобия в (8.6), получим совместную апостериорную ФПВ в виде

где . Проинтегрировав (8.159) по получим

Можно видеть, что апостериорная ФПВ матрицы В является произведением сомножителей в форме ФПВ многомерного -распределения Стьюдента и ФПВ многомерного нормального распределения. Поскольку (8.70) выглядит достаточно сложно, разложим первый сомножитель в правой части (8.70), как это мы уже делали в 8.3. В результате получим следующую аппроксимацию апостериорной ФПВ главным нормальным членом разложения:

где

и

Величина в (8.72) является математическим ожиданием главного нормального члена в разложении, причем видно, что она является «матричной средней взвешенной» априорного математического ожидания и вектора оценок наименьших квадратов , веса которых задаются матрицей, обратной к априорной ковариационной матрице С, и выборочной ковариационной матрицей соответственно. Матрица F в (8.73) является обратной к ковариационной матрице главного нормального члена, аппроксимирующего 1 апостериорную ФПВ для В.