6.2. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ПОСТОЯННОЙ ЭЛАСТИЧНОСТИ ЗАМЕНЫ (ПЭЗ)

В своем пионерном исследовании Эрроу, Ченери, Минхас и Солоу [8] проанализировали класс ПФ с постоянным параметром эластичности замены, который мы обозначим через Они показали, что, если рассматриваются два вида затрат и ПФ ПЭЗ обращается в ПФ Кобба — Дугласа (К — Д), при в ПФ Леонтьева с фиксированными пропорциями затрат и при в ПФ неограниченной заменимости факторов. Хотя параметр

чаще всего оценивается с использованием необходимого условия максимизации прибыли, здесь мы займемся непосредственным оцениванием нелинейной функции с двумя видами затрат, следуя работе Торнбера [136], а затем перейдем к рассмотрению альтернативного подхода, который позволяет учитывать более двух видов затрат и тесно связан с анализом преобразований Бокса — Кокса, рассмотренным выше.

В ПФ ПЭЗ наблюдение за выпуском связано с затратами капитала и труда, следующим образом:

или

где являются параметрами, удовлетворяющими условиям Далее, есть возмущение. Мы принимаем допущение, что нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной Наконец, мы сделаем допущение, что либо суть неслучайные величины, либо, если они случайные величины, то распределены независимо от причем распределения не зависят от параметров . В условиях этих допущений функция правдоподобия имеет вид

где

Заметим, что матрица X размерности , и являются функциями от параметров .

Для того чтобы получить оценку МНП, мы переходим к логарифму (6.29), обозначаемому через и максимизируем его по , получая в результате

в качестве максимизирующих значений. Вычисляя L при этих значениях, мы получаем , который задается выражением

где как это было показано выше, есть функция от . Путем поиска на решетке значений мы можем получить такие значения , которые минимизируют если, конечно, таковые существуют. Полученные значения будут оценками МНП. Затем можно вычислить величины из выражения (6.30), соответствующие минимизирующим значениям , и тем самым получить оценки МНП . Торнбер показал, что математическое ожидание и дисперсия оценивателя МНП параметра эластичности замены, не существуют в условиях конечных выборок. Однако математическое ожидание и дисперсия его асимптотического нормального распределения при заданных существуют. Математическое ожидание этого асимптотического условного распределения есть в то время как дисперсия представляется выражением

где

причем . Этот результат может быть употреблен для вычисления приближенного среднего квадратичного отклонения большой выборки.

В дополнение к этим результатам, справедливым в условиях большой выборки, Торнбер сообщает некоторые результаты экспериментов Монте-Карло, которые были поставлены с тем, чтобы получить оценки функций риска, ассоциированных с альтернативными оценивателями , в том числе оценивателем МНП, линеаризованным оценивателем МНП и двумя оценивателями, построенными с помощью критерия минимизации ожидаемых потерь, причем переход к математическому ожиданию осуществляется с использованием апостериорной ФПВ для параметров. Торнбер пользовался следующей функцией потерь:

т. е. функцией потерь, которая дает большие относительные потери при недооценке по сравнению с таковыми при переоценке. Примененные им в этих экспериментах две ФПВ представлены ниже:

причем

Рис. 6.2. Функции риска для выборки из 10 наблюдений. Функции риска оценивались при

Нормированные маргинальные априорные ФПВ для имеют вид

Мода первой из этих ФПВ, есть мода второй ФПВ, , есть приблизительно

На рис. 6.2 и 6.3 представлены результаты экспериментов Торнбера для двух выборок объемом 10 и 20 наблюдений. Точки, обозначенные как , являются результатами для байесовских оценивателей минимума ожидаемых потерь, полученных с помощью первой и второй априорных ФПВ соответственно. Очевидно, что проведение процедуры минимизации ожидаемых потерь для построения оценивателей, включающих априорную информацию, ведет к существенному снижению риска почти по всему пространству параметров. Только в области низких значений риск, связанный с оценивателями МНП, меньше, чем риск, связанный с оценивателями минимума ожидаемых потерь.

Касаясь полученных Торнбером результатов, следует подчеркнуть, что употреблялся частотный критерий, с которым отнюдь не все согласны. Многие исследователи считают, что оценка, минимизирующая ожидаемые потери при заданной выборочной информации,

является оптимальной в свете гипотезы ожидаемой полезности, а частотная аргументация представляется здесь излишней.

Мы рассмотрим теперь альтернативный подход к анализу ПФ ПЭЗ, который обнаруживает интересную связь с анализом преобразований Бокса — Кокса. Сначала мы рассмотрим детерминированную форму ПФ ПЭЗ с двумя видами затрат, и постоянной отдачей от масштаба, а именно

где обозначает систематическую часть выпуска, а где есть параметр эластичности замены.

Рис. 6.3. Функции риска для

Возводя обе части (6.35) в степень g и производя перегруппировку членов, мы получаем

где . Допустим теперь, что наблюденные выпуски удовлетворяют

или

где

причем есть свободный параметр. Заметим, что в (6.38) мы не записываем в качестве зависимой переменной, поскольку

не представляется обоснованным допущение, что степенное преобразование с параметром приведет к нормальности распределения возмущений и стабилизации их дисперсий. Вместо этого мы вводим новый параметр и используем его для степенного преобразования зависимой переменной. Если , то (6.38) обращается в ПФ . Если мы получаем зависимость, линейную относительно переменных. Кроме того, если мы получаем полулогарифмическую зависимость. Очевидно, что введение нового параметра Я расширяет область возможных форм рассматриваемой нами функциональной зависимости.

Полагая и принимая допущение, что в (6.38) нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией мы получаем функцию правдоподобия вида

где у а есть якобиан преобразования в

и

Следует подчеркнуть, что величины являются функциями от X и g. Кроме того, и суть значения, соответствующие максимуму функции правдоподобия при заданных и g. Логарифмируя (6.40) и подставляя (6.41) и (6.42) вместо и соответственно, мы получаем

Теперь, используя ЭВМ, можно организовать процедуру перебора на решетке значений , связанных с . С помощью этой процедуры мы найдем пару значений g и X, соответствующую максимуму , если, конечно, такая пара существует. Эта пара значений, скажем а также соответствующие им значения и являются оценками МНП. Далее из (6.39) при условии, что мы располагаем оценками нетрудно получить оценки

Если мы имеем дело с более чем двумя видами затрат и допускаем возможность непостоянства отдачи от масштаба, для получения оценок МНП может быть использован аналогичный подход. Здесь мы имеем дело с видами затрат, всего k переменных (мы отбрасываем

индекс а, обозначающий номер наблюдения, в целях удобства нотации), и вместо (6.35) ПФ принимает вид

где V опять-таки есть систематическая часть выпуска, , являются параметрами и v — параметр отдачи от масштаба. Возводя в степень обе части (6.44) и перегруппировывая члены, мы получаем

Дальнейшие преобразования приводят (6.45) к виду

В (6.46) определяется следующим образом:

Как и выше, мы не видим причин, в силу которых степенное преобразование с помощью параметров могло бы обеспечить нормальность и стабилизировать дисперсию. Вместо этого мы примем в качестве допущения, что наблюденный выпуск связан с V зависимостью

где и есть возмущение, а причем свободный параметр. Тогда в матричной форме модель наблюдений может быть представлена в виде

где

причем i есть -мерный вектор-столбец, все компоненты которого равны единице. Так же как и выше, мы можем построить функцию правдоподобия

где J есть сомножитель-якобиан. Далее мы максимизируем эту функцию двушаговой процедурой Бокса — Кокса. Для любых значений X и g условные максимизирующие значения и имеют вид

и

Подставляя эти величины в выражение для логарифма функции правдоподобия, мы получаем

т. е. функцию, зависящую только от параметров X и g. С помощью ЭВМ можно вычислить значения (6.53) для разных сочетаний X и g в некоторой области и найти пару значений этих параметров, которые соответствуют ее максимуму. Затем могут быть исследованы свойства полученной поверхности. Если дано, что значения X и g соответствуют максимуму (6.53), соответствующие этим значениям X и g, являются оценками МНП и . Поскольку первая компонента вектора определена как v, мы тем самым получаем v, т. е. оценку v. Далее, возвращаясь к (6.47), мы можем определить оценки МНП . Как обычно, при оценивании МНП можно получить средние квадратичные отклонения большой выборки из матрицы, обратной к оценке информационной матрицы.

Эти результаты МНП будут полезны в случае, если мы располагаем адекватным числом наблюдений, обнаруживающих достаточную вариацию для того, чтобы измерить свойства сильно нелинейной ПФ ПЭЗ. Если же исследователь располагает только малой выборкой, обнаруживающей сравнительно слабую вариацию, то сделать точные выводы с помощью этих методов, разработанных применительно к условиям большой выборки, будет, разумеется, затруднительно.