Б.3. ФПВ УИШАРТА (У-ФПВ)

Говорят, что различных элементов случайной ПОСМ размерности имеют распределение Уишарта (У-распределение), если и только если они имеют следующую ФПВ:

где есть ПОСМ размерности ФПВ определена в области Обозначим ФПВ через . Некоторые свойства У-ФПВ будут рассмотрены ниже.

1. Если являются -мерными взаимно независимыми случайными вектор-столбцами, каждый из которых имеет МН ФПВ с нулевым вектором математического ожидания и общей положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности , то различные элементы матрицы где имеют У-ФПВ . Заметим, что диагональные элементы определяются формулой для а внедиагональные элементы формулой для

Таким образом, есть выборочная ковариационная матрица, и различные элементы S имеют У-ФПВ

2. Различные элементы случайной матрицы А с ФПВ , заданной имеют следующие математические ожидания, дисперсии и ковариации:

и

Представим матрицы А и в блочном виде следующим образом:

где в каждом из случаев подматрица имеет размерность а подматрица имеет размерность . Далее, пусть

и

Известно, что справедливы следующие свойства У-ФПВ

3. Совместная ФПВ различных элементов есть ту).

4. Совместная ФПВ различных элементов есть

5. Маргинальная ФПВ для есть

где

(Б.59) дает ФПВ для выборочного коэффициента корреляции, основанного на v парах наблюдений, полученных независимой выборкой из двухмерной нормальной ФПВ с нулевыми математическими ожиданиями и положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей размерности

Пункт 1 формулирует фундаментальное] соотношение между МН ФПВ и У-ФПВ. Оно может быть обосновано следующим образом.

Совместная ФПВ для v нормальных взаимно независимых векторов каждый из которых имеет нулевой вектор математического ожидания и общую положительную-определенную симметрическую ковариационную матрицу 2, имеет вид

где является матрицей размерности , причем . Сделаем преобразование где К является матрицей размерности , такой, что т. е. К является семиортогональной матрицей, а Т есть нижняя треугольная матрица размерности :

где . Отметим, что накладывает ограничений на элементы матрицы К. Следовательно, реально имеется только независимых элементов матрицы К. Выберем независимое множество элементов в К, скажем и назовем это множество Таким образом, мы можем рассматривать преобразование при условии как эквивалентное преобразованию от элементов к элементам элементам

Тогда, подставляя в получаем

где J обозначает якобиан преобразования от элементов Z к элементам Для получения явного выражения якобиана J используем следующий результат:

если для , где подчинены q ограничениям

для якобиан J, связанный с преобразованием

имеет вид

Применим этот результат к настоящей задаче, где занимает место занимает место Далее, элементы должны быть связаны с в то время как оставшиеся элементы К, обозначаемые через , должны быть связаны с . Тогда якобиан имеет вид

Явное выражение для числителя в есть

Таким образом, принимает вид

Так как по области равен маргинальное распределение элементов T имеет ФПВ

где

Выборочная ковариационная матрица S с различньши элементами задается формулой . Преобразуем выражение которое включает элементов Т, в ФПВ

различных элементов S. Получим

где

ФПВ в (Б.69) является У-ФПВ, что и требовалось доказать. Простой заменой переменных из может быть получена ФПВ для равная , — ФПВ, приведенной в (Б.55).

Формулы для моментов получены в литературе из соответствующих моментов для элементов , так как имеет МН ФПВ

Тогда

и для и мы получаем

Пункт 3 легко может быть доказан путем представления Z в блочном виде где является случайной матрицей размерности с независимыми и нормально распределенными вектор-столбцами, каждый из которых имеет нулевой вектор математических ожиданий и положительно-определенную симметрическую ковариационную матрицу размерность которой Затем, используя (1), получим, что имеет У-ФПВ . В случае, когда имеет форму ПВ одномерного гамма-распределения, которое, конечно, может быть трансформировано в ПВ -распределения. Таким образом, ПВ распределения Уишарта может рассматриваться как многомерное обобщение ПВ одномерного гамма-распределения.

Для доказательства свойства 4 введем где V является случайной матрицей, строки которой независимо и нормально распределены, каждая с нулевым вектором математического ожидания и общей положительно-определенной симметрической ковариационной матрицей 2. Когда, подразделяя получим

где являются матрицами размерности соответственно и

Тогда

При фиксированной положим где L является ортогональной матрицей, такой, что

Учитывая результат в 3-й строке (Б.70), мы получаем

где является подматрицей размерности матрицы Таким образом, Следовательно, может быть выражена в виде где строки являются независимо и нормально распределенными, каждая с нулевым вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей

Таким образом, используя свойство 1, мы получаем, что имеет У-ФПВ, где Свойство 5 выводится из ФПВ для т. е. из являющейся которая выражается в терминах после исключения интегрированием