3.2.4. Прогнозная ФПВ

В этом параграфе мы получим прогнозную ФПВ для вектора будущих наблюдений, который, по предположению, генерируется процессом множественной регрессии. Имеет место выборочных наблюдений t вектора у при заданной матрице X и допущении расплывчатой априорной ФПВ (3.30). Мы хотим получить ФПВ для у, предполагая, что она генерируется множественным регрессионным процессом

где X есть матрица размерности заданных значений независимых переменных для q будущих периодов, а и есть -мерный вектор-строка

строка будущих возмущений, распределенных нормально и независимо, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной ста.

Как уже указывалось во 2-й главе, одним из путей вывода прогнозной ФПВ является построение совместной ФПВ с дальнейшим интегрированием по и получением маргинальной ФПВ для у в качестве прогнозной ФПВ. В данной задаче эта совместная ФПВ может быть следующим образом разложена на сомножители:

где есть апостериорная ФПВ для , представленная (3.31), а

С учетом этого (3.53) пропорционально

и наша задача заключается в интегрировании (3.55) по а и . Интегрируя по , получаем

Выделяя полный квадрат по , мы получим

где . Подставляя в (3.56) и интегрируя по k компонентам вектора , получаем

где . Для придания (3.57) более удобной формы мы запишем выражение в скобках в правой части (3.57) в виде

Теперь отметим следующий факт, который может быть проверен непосредственным перемножением матриц:

Используя это, мы получаем

Подстановка (3.60) в (3.58) дает

где . Опираясь на полученные результаты и на то, что мы можем переписать (3.57) в виде

где . Из (3.61) следует, что у имеет многомерное -распределение Стьюдента. Таким образом, в качестве математического ожидания у мы имеем

а в качестве ковариационной матрицы

Разумеется, что свойства многомерного -распределения Стьюдента, перечисленные в связи с (3.32), применимы и здесь; например, маргинальная ФПВ отдельной компоненты у, скажем будет иметь вид, соответствующий одномерному -распределению Стьюдента, а именно

где есть строка матрицы элемент матрицы, обратной к Н.

Наконец, аналогично (3.32) и (3.47) линейная комбинация компонент у будет также иметь одномерное -распределение Стьюдента, т. е. если мы через 1 обозначим -мерный нестохастический вектор-строку с заданными элементами, то величина будет иметь одномерное -распределение Стьюдента:

где

Конкретным частным случаем линейной комбинации будущих наблюдений, часто встречающихся в экономических исследованиях, является

где есть заданная дисконтная ставка. Для (3.66) имеем

Располагая результатом (3.65), можно считать распределение величины V в (3.66) известным. Если мы, кроме того, имеем функцию полезности, зависящую от V, например U (У), то можно вычислить ожидаемую полезность:

поскольку из (3.65) мы можем определить ФПВ для V. Вычисление (3.67) обеспечивает возможность сопоставления ожидаемых полезностей, связанных с различными V, если V являются линейными комбинациями будущих наблюдений, генерируемых нормальной регрессионной моделью.