ожидаемой полезности. Он заключается в том, что имеется значение 
, минимизирующее математическое ожидание функции потерь, т. е.
что предполагает конечность 
и существование минимума.
В качестве важной иллюстрации (2.20) рассмотрим случай квадратичной функции потерь 
, где С есть известная нестохастическая положительно-определенная симметричная матрица. Тогда апостериорное математическое ожидание квадратичной функции потерь будет
Первый член последнего выражения не содержит 
. Второй член, 
является нестохастическим и будет минимизирован, если принять 
при условии, что С есть положительноопределенная матрица. Таким образом, для положительно-определенной квадратичной функции потерь математическое ожидание 
апостериорной ФПВ 
если оно существует, является оптимальной точечной оценкой. При других функциях потерь может быть использован аналогичный метод для получения оптимальных точечных оценок.
Пример 2.4. Рассмотрим пример 2.1 для случая, когда наша функция потерь есть 
где — точечная оценка, 
положительная константа. Тогда 
математическое ожидание апостериорной ФПВ для 
минимизирует
Пример 2.5. Пусть наша функция потерь имеет вид 
, а апостериорная ФПВ для 
является собственной непрерывной ФПВ 
причем 
, где а и b известны. Тогда точечная оценка 
, минимизирующая ожидаемые потери, может быть найдена следующим
образом:
где 
есть кумулятивная апостериорная функция распределения. Дифференцируя по 
и приравнивая производную нулю, имеем
или
где 
, удовлетворяющее этому необходимому условию минимума, является медианой апостериорной ФПВ. В том, что это значение 
обеспечивает минимум 
, можно убедиться, заметив, что 
строго положительна при 
медиане апостериорной ФПВ. Таким образом, для функции абсолютной ошибки 
медиана апостериорной ФПВ является оптимальной точечной оценкой.
Далее мы дадим обзор взаимосвязи между байесовскими методами и теорией выборочных исследований в подходе к точечному оцениванию. Пусть 
есть оцениватель, полученный методами теории выборочных исследований. Функция риска, связанная с оценивателем 
, задана выражением
где 
функция потерь, 
собственная ФПВ для у при заданном 
в предположении сходимости интеграла (2.22). Уравнение (2.22) явно указывает на то, что функция риска зависит от значения неизвестного параметра 
Поскольку невозможно отыскание
, минимизирующего 
для всех возможных значений 
мы будем искать оцениватель, минимизирующий средний риск при условии, что средний риск определяется выражением
В (2.23) 
является «весовой функцией», используемой для взвешивания качества оценивателя 
по областям пространства параметров. Теперь наша задача сводится к нахождению оценивателя, минимизирующего средний риск, т. е. к решению следующей задачи:
Если дано, что подынтегральное выражение в (2.24) является неотрицательным, то мы можем поменять порядок интегрирования и, учитывая, что 
записать (2.24) в виде
, минимизирующее выражение в квадратных скобках, минимизирует ожидаемый риск при условии, что 
конечно, и этот оцениватель, по определению, является байесовским оценивателем. Поэтому если учитывается возможность серьезных ошибок, специфицируемая в виде функции потерь 
а также определяется область, для которой требуются хорошие свойства оценок, специфицируемая путем выбора функции взвешивания по значениям параметра, 
, то в случае использования критерия среднего риска байесовский оцениватель дает наилучшие свойства в повторных выборках.
По желанию можно охарактеризовать это распределение в терминах небольшого числа мер, например мерами центральной тенденции, дисперсии и скошенности, причем мера центральной тенденции служит точечной оценкой. Задача выбора единственной меры центральной тенденции хорошо известна в дескриптивной статистике. При определенных обстоятельствах исследователь может располагать функцией потерь, например 
, где 
есть точечная оценка, зависящая от данной выборки наблюдений 
. Поскольку 
считается случайной величиной, L также случайна. Обычно используют принцип, который порождает точечные оценки и согласуется с гипотезой