7.4. МОДЕЛИ «РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАПАЗДЫВАНИЙ» (ЛАГОВ)

После пионерной работы Койка [76] модели распределенных запаздываний (лагов) нашли применение в целом ряде эконометрических исследований. Эти модели обычно включают запаздывание воздействий, происходящее в силу устойчивости традиций, институциональных или технических ограничений, и (или) воздействие ожиданий, связывающее предвидение с опытом. Кроме того, в целях предотвращения разбухания числа параметров в моделях распределенных запаздываний обычно делается допущение, что коэффициенты при запаздывающих переменных не все независимы, а связаны функциональной зависимостью. Эта функциональная зависимость позволяет свести число параметров, требующихся для формального представления запаздывающих откликов, к одному или нескольким.

Сперва мы рассмотрим такую модель:

где индексы обозначают переменные соответственно в -й и периоды времени; есть наблюдаемая случайная переменная «отклика»; ut - ненаблюдаемое случайное возмущение; значение переменной «стимула» в период — неизвестные параметры, причем Вычитая из обеих частей (7.43), получаем

т. е. тот вид модели, который мы собираемся анализировать.

Относительно (7.44) мы примем допущение, что нормально и независимо распределены с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной . Заметим, что дисперсия есть в то время как коэффициент автоковариации первого порядка задается как . Если принято допущение, что независимо распределены, то все коэффициенты автоковариации более высокого порядка равны нулю. Таким образом, для ковариационная матрица скользящей средней возмущения первого порядка из выражения (7.44) есть

, причем

где все элементы, кроме главной и первых над- и поддиагоналей, равны нулю. Совместная ФПВ для при заданном имеет вид

где

Наша расплывчатая априорная ФПВ для параметров есть

При этих условиях апостериорная ФПВ для параметров задается выражением

Мы можем просто проинтегрировать (7.48) по а и получить

т. е. совместную апостериорную ФПВ для параметров и а. Применяя методы двумерного численного интегрирования, можно вычислить нормирующую постоянную и построить двумерную ФПВ, с помощью которой можно делать совместные выводы относительно А. и а. Маргинальные апостериорные ФПВ для X и а могут быть также построены численными методами.

В развитие модели (7.43) мы можем принять гипотезу, что наши данные генерируются моделью

где определены выше. Здесь мы предполагаем, что отклик на текущее и запаздывающее возмущения принимает ту же самую форму, что и для текущего и запаздывающего с тем же самым параметром . Вычитая из обеих частей (7.50), получим

Если мы, как и выше, примем стандартные допущения относительно и предположим, что мы имеем наблюдений, то при заданном функция правдоподобия имеет вид

Пользуясь априорными допущениями в (7.47), образуем совместную апостериорную ФПВ и, проинтегрировав по получим

которая имела бы форму двумерной -ФПВ, если бы не предположение . С учетом этого ограничения (7.53) может быть проанализировано численными методами для получения совместных выводов о А, и а и совместных апостериорных ФПВ для и .

В некоторых случаях мы хотели бы расширить модель, включив в нее предположение о возможной автокорреляции в (7.51); например, можно предположить, что

где нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной , а есть параметр авторегрессионной схемы первого порядка, которой по допущению генерируются . Затем, объединяя (7.51) и (7.54), можно получить

Альтернативным путем получения (7.55) является принятие допущения, что возмущение в (7.44) удовлетворяет

или

что является допущением в достаточной степени общего процесса второго порядка. Объединение (7.56) и (7.44) ведет в точности к уравнению (7.55). Таким образом, оказывается, что допущения, ведущие к (7.44), объединенные с допущениями (7.56), являются эквивалентными тем, которые лежат в основе (7.51), если их объединить с (7.54).

Рис. 7.4. Маргинальные апостериорные распределения для , построенные на массиве данных, генерированных при

Для анализа мы принимаем следующую расплывчатую априорную ФПВ:

где есть общая дисперсия . Если заданы эти априорные допущения относительно в (7.55) и два начальных значения, то апостериорная ФПВ Для параметров имеет вид

Где . Интегрирование по f Дает

Из второй строки (7.59) следует, что условная ФПВ для и а при заданном была бы двумерной -ФПВ Стьюдента, если бы мы не приняли допущение

Рис. 7.5. Маргинальные апостериорные распределения для а и y. построенные на массиве данных, генерированных при

Ниже мы покажем, насколько чувствительны выводы относительно к допущениям о при анализе условной ФПВ численными методами.

Из первой строки (7.59) следует, что, выделяя полный квадрат относительно и интегрируя по аналитически, можно в результате получить

Для определения того, насколько чувствительны выводы к неверным допущениям относительно параметра , мы построим условные

апостериорные ФПВ (см. вторую строку (7.59)) для отдельных значений и тех же самых данных которые послужили для построения маргинальных апостериорных распределений (рис. 7.4 и 7.5). Эти условные ФПВ представлены на рис. 7.6, но только для массива данных, генерированных при Чувствительность этих апостериорных ФПВ (как в отношении положения, так и в отношении «сплюснутости» кривой) к допущениям

Рис. 7.6а. Условные апостериорные распределения для а, построенные на массиве данных, генерированных при

Рис. 7.6б. Условные апостериорные распределения для X, достроенные на массиве данных, генерированных при

относительно оказалась чрезвычайно большой. Поэтому, когда есть подозрения, что отлично от нуля, мы рекомендуем применять для получения выводов относительно а и не условные ФПВ, а маргинальные апостериорные ФПВ.

Наконец, мы отметим, что поскольку мы располагаем совместной апостериорной ФПВ для то, вообще говоря, нетрудно построить распределение функции от переменных а и А; например, в некоторых задачах интерес концентрируется вокруг «долговременной» величины . В целях получения апостериорной ФПВ для мы перейдем в от переменных а и А. к переменным и А. Якобиан этого преобразования равен , т. е. отличен от нуля при и маргинальная апостериорная ФПВ для обозначим ее получается путем численного интегрирования по А:

где с есть нормирующая постоянная, которая может быть получена численными методами. Располагая мы можем принять ее за основу для получения выводов о «долговременном» параметре .