А.4. ФПВ ОБРАТНОГО ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (О ГАММА-ФПВ)

ФПВ обратного гамма-распределения получается из ФПВ в заменой у на положительный корень квадратный из Таким образом, и, следовательно, После этого преобразования мы приходим к О гамма-ФПВ, имеющей вид:

где у, Поскольку эта ФПВ часто встречается в связи с априорными и апостериорными ФПВ для стандартного среднего квадратичного

отклонения, то мы перепишем введя обозначения Получим

где ФПВ в (А.37в) имеет единственную моду в точке где

Моменты если они существуют, получаются вычислением следующего интеграла:

где

Вводя обозначение получаем в виде

Интеграл в является гамма-функцией. Для его сходимости необходимо выполнение условия

которое совпадает с условием существования момента порядка . Подставляя значение с в получаем

удобное выражение для моментов относительно нуля. Первые четыре момента равны:

Из видно, что математическое ожидание тесно связано с s. С возрастанием v, s, которое является приближенным значением моды для больших v (см. выше).

Что касается моментов относительно математического ожидания, то мы имеем

Эти формулы полезны, если нам нужно вычислить моменты высших порядков обратной гамма-ФПВ.

Мера скошенности Пирсона для обратной гамма-ФПВ задается следующим выражением:

Так как мера обычно положительна, обратная гамма-ФПВ имеет положительную асимметрию. Ясно, что с возрастанием v имеет место При умеренных значениях v у обратной гамма-ФПВ довольно длинный правый хвост.